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Hallo,
ich bin gerade total am verzweifeln. Letzt Woche war ich leider krank. Nun steht dummerweise Montag morgen eine Mathearbeit an.
Freitag hat unser Lehrer uns noch beigebracht wie man bei Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion erstellt.
Ansich verstehe ich den Differenzialquotienten {f(x) - f(x0) / x-x0}, jedoch komme ich mit der Ableitung garnicht zurecht...
Eine Freundin hat mir die Aufzeichnung der Stunde Fotografiert:
[img]http://s14.directupload.net/file/d/3036/bygu5gey_jpg.htm[img]
Kann mir das jemand erklären oder mir einen link zu einer Seite wo es erklärt schicken?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Freitag hat unser Lehrer uns noch beigebracht wie man bei
> Differenzialquotienten die Ableitungsfunktion erstellt.
> Ansich verstehe ich den Differenzialquotienten {f(x) -
> f(x0) / x-x0}, jedoch komme ich mit der Ableitung
> garnicht zurecht...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
der Differenzenquotient [mm] \bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] liefert Dir die Steigung der Sekante, die durch die beiden Punkte (x|f(x)) und [mm] (x_0|f(x_0)) [/mm] verläuft.
Nehmen wir die Funktion f(x)= [mm] 3x^2+4 [/mm] und betrachten die Punkte [mm] P_1(1|7) [/mm] und [mm] P_2(5|79).
[/mm]
Die Sekante durch diese Punkte hat die Steigung [mm] m=\bruch{72}{4}=18.
[/mm]
Wir hatten ja hier ja betrachtet die Stelle mit x=1 und die um 4 davon entfernt liegende Stelle x=1+4,
also [mm] m=\bruch{f(1+4)-f(1)}{(1+4)-1}=18 [/mm] berechnet.
Jetzt machen wir das etwas allgmeiner und betrachten die Sekante des Graphen an der Stelle [mm] x_0=1 [/mm] und der um h entfernt liegenden Stelle x=1+h.
Als Steigung bekommt man [mm] m=\bruch{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\bruch{(3*(1+h)^2+4)-(3*1^2+4)}{(1+h)-1}=\bruch{6*h+3h^2}{h}=6+3h
[/mm]
Testen wir, ob's stimmt. Ganz oben hatten wir's ja für h=4 ausgerechnet,
und tätsächlich bekommen wir m=6+3*4=18.
Du kannst nun ziemlich fix die Steigung der Sekante des Graphen zwischen den Stellen x=1 und beliebig weiter bzw. naher Stelle x=1+h ausrechnen.
Kannst damit ja mal die Sekantensteigungen für den zweiten Punkt
x=2
x=1.5
x=1.001
x=1.00001
ausrechnen.
Wenn man h immer kleiner macht, rückt die Stelle x=1+h immer dichter an x=1 heran (limes von h gegen 0), und die Sekantensteigung nähert sich immer mehr der Steigung der Tangente an der Stelle x=1.
Die Tangentensteigung an der Stelle x=1 ist die Ableitung an der Stelle x=1, man schreibt auch f'(1).
Es ist also Tangentensteigung an der Stelle x=1
[mm] f'(1)=\lim{h\to 0}\bruch{f(1+h)-f(1)}{(1+h)-1}=\lim{h\to 0}\bruch{6*h+3h^2}{h}
[/mm]
An dieser Stelle klappt's noch nicht mit dem limes, denn Du hättest, wenn Du für h die 0 einsetzt, "0 durch 0". Jetzt kommt der Trick mit dem Ausklammern von h:
[mm] ...=\lim{h\to 0}\bruch{h(6+3h)}{h}=\lim{h\to 0}(6+3h)=6+3*0=6.
[/mm]
Wir wissen jetzt: die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x beträgt 6.
Die Sekantensteigung zwischen x=1 und x=1.0001, die Du oben ausgerechnet hast, sollte sehr ähnlich sein.
Den limes des Differenzenquotienten bezeichnet man als Differentialquotient.
Wenn du das bis hierher mit Stift und Papier nachvollzogen und weitgehend verstanden hast, versuche doch mal, die Ableitung von f(x) an der Stelle x=2 mit [mm] f'(2)=\lim{h\to 0}\bruch{f(2+h)-f(2)}{(2+h)-2} [/mm] zu berechnen und danach dann noch die Ableitung an der Stelle x=5.
Erst, wenn es so weit gediehen ist, wenden wir uns der Mitschrift aus der Schule zu. Hier wird genau das Beschriebene getan.
das a dort ist unsere 3,
das c dort ist unsere 4,
das [mm] x_0 [/mm] dort ist die Stelle, deren Ableitung (=Tangentensteigung) wir wissen wollen, bei uns war zunächst [mm] x_0 [/mm] die 1.
Schau mal, wie weit Du nun durchblickst, und frag ggf. nach gründlichem Studium der Antwort nochmal konkret nach den Dingen, die Du nicht verstehst.
LG nach Hemmingen - da war ich neulich!
Angela
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> Eine Freundin hat mir die Aufzeichnung der Stunde
> Fotografiert:
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> [img]http://s14.directupload.net/file/d/3036/bygu5gey_jpg.htm[img]
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> Kann mir das jemand erklären oder mir einen link zu einer Seite wo es erklärt schicken?
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