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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 So 27.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | 1. Bestimme maximalen Definitionsbereich und 1. Ableitung.
2. Für welchen Definitionsbereich ist f differenzierbar?
[mm] f(x)=x*\wurzel{x} [/mm] |
Definitionsbereich:
[mm] D=\{x|x\inR\wedgex\ge0\}
[/mm]
1. Ableitung:
[mm] f'(x)=(3/2)*\wurzel{x}
[/mm]
Mein Buch sagt f ist differenzierbar für $ x>0 $.
Warum wird $ x=0 $ ausgeschlossen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 So 27.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> 1. Bestimme maximalen Definitionsbereich und 1. Ableitung.
> 2. Für welchen Definitionsbereich ist f differenzierbar?
> [mm]f(x)=x*\wurzel{x}[/mm]
> Definitionsbereich:
> [mm]D=\{x|x\inR\wedgex\ge0\}[/mm]
> 1. Ableitung:
> [mm]f'(x)=(3/2)*\wurzel{x}[/mm]
>
> Mein Buch sagt f ist differenzierbar für [mm]x>0 [/mm].
> Warum wird
> [mm]x=0[/mm] ausgeschlossen?
Es wird nicht nur die Null ausgeschlossen sondern alle nicht positive Werte.
Wie lautet denn die Definition von Differenzierbarkeit? Da muss ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert existieren.
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:24 So 27.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
> Es wird nicht nur die Null ausgeschlossen sondern alle
> nicht positive Werte.
Logisch, aber im Definitionsbereich (alle positiven Werte inklusive x=0) von f ist die Null enthalten.
Und ich dachte, dass f für diese gesamte D differenzierbar sei.
Im Buch steht jedoch, dass f nur für x>0 differenzierbar ist.
Warum ist das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:47 So 27.06.2010 | | Autor: | abakus |
> > 1. Bestimme maximalen Definitionsbereich und 1. Ableitung.
> > 2. Für welchen Definitionsbereich ist f
> differenzierbar?
> > [mm]f(x)=x*\wurzel{x}[/mm]
> > Definitionsbereich:
> > [mm]D=\{x|x\inR\wedgex\ge0\}[/mm]
> > 1. Ableitung:
> > [mm]f'(x)=(3/2)*\wurzel{x}[/mm]
> >
> > Mein Buch sagt f ist differenzierbar für [mm]x>0 [/mm].
> > Warum
> wird
> > [mm]x=0[/mm] ausgeschlossen?
> Es wird nicht nur die Null ausgeschlossen sondern alle
> nicht positive Werte.
> Wie lautet denn die Definition von Differenzierbarkeit? Da
> muss ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
> existieren.
Hallo,
diese Definition möchte ich sehen!
Für die Differenzierbarkeit reicht es aus, dass der wohlbekannte Grenzvert des Differenzenquotienten für x gegen [mm] x_0 [/mm] EXISTIERT. Fertig.
Natürlich existiert dieser Grenzwert nicht, wenn bei links- und rechtsseitiger Annäherung zwei verschiedene "Grenzwerte" herauzskommen. Dieses Problem stellt sich jedoch nicht, wenn ein vom rechstsseitigen Grenzwert verschiedener linksseitiger Wert mangels vorhandenem Definitioinsbereich auf der linken Seite gar nicht gebildet werden kann.
Meine einmzige Erklärung für die widersinnige Lehrbuchlösung ist, dass da ein Lehrbuchautor seine ganz persönliche Grenzwertdefinition kreiert hat.
Gruß Abakus
> >
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 27.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
Hier kannst du es sehen:
http://img710.imageshack.us/img710/3134/scannen0005z.jpg
Ich weiss nicht genau, was du mit links- und rechtsseitigem Grenzwert meinst.
Mich interessiert, warum bei der Lösung zu c)
bei "Die Funktion f ist differenzierbar für x [mm] \in [/mm] R" die Null fehlt.
Meine Lösung war:
Die Funktion f ist für den gesamten Definitionsbereich differenzierbar also für [mm] D=\{x|x \in R \wedge x \ge 0 \}
[/mm]
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> Hier kannst du es sehen:
> http://img710.imageshack.us/img710/3134/scannen0005z.jpg
>
> Ich weiss nicht genau, was du mit links- und rechtsseitigem
> Grenzwert meinst.
> Mich interessiert, warum bei der Lösung zu c)
> bei "Die Funktion f ist differenzierbar für x [mm]\in[/mm] R" die
> Null fehlt.
>
> Meine Lösung war:
> Die Funktion f ist für den gesamten Definitionsbereich
> differenzierbar also für [mm]D=\{x|x \in R \wedge x \ge 0 \}[/mm]
wenn du [mm] x*\sqrt{x}=\sqrt{x^3} [/mm] setzt und dann ableitest, hast du eine wurzel im nenner.
du hast den "fehler" gemacht und direkt aus [mm] x*\sqrt{x}=x^{3/2} [/mm] gemacht.
warum das fehlerhaft ist, siehst du hier:
[mm] \sqrt{x}*\sqrt{x} [/mm] mit D x e R>=0
mit den potenzgesetzen wird jedoch [mm] x^1 [/mm] daraus, und da sieht man nicht mehr, dass die definitionsbereichseinschränkende wurzel dabei war
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:32 So 27.06.2010 | | Autor: | BarneyS |
DANKE :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 Mo 28.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> > muss ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
> > existieren.
> Hallo,
> diese Definition möchte ich sehen!
Die übliche Definition!
> Für die Differenzierbarkeit reicht es aus, dass der
> wohlbekannte Grenzvert des Differenzenquotienten für x
> gegen [mm]x_0[/mm] EXISTIERT. Fertig.
Na wenn der Grenzwert von links (unten) nicht existiert, kann er auch nicht mit dem rechten (oben) Grenzwert übereinstimmen.
Wenn diese zwei Grenzwerte nicht übereinstimmen kann man auch nicht differenzieren, sonst hätte man für ein und dieselbe Funktionen zwei verschiedene Ableitungen, was Schwachsinn wäre.
Laut Definition kann man auch nur auf offenen Intervallen differenzieren, um diese Umgebung überhaupt zu haben, wo man den Grenzwert bilden möchte.
Im obigen Beispiel ist die Funktion ja nicht auf einem offenen Intervall definiert, sondern auf einen halboffenen Intervall, womit man sich ein offenes Intervall suchen muss, wo man differnzieren möchte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> > > muss ein linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert
> > > existieren.
> > Hallo,
> > diese Definition möchte ich sehen!
> Die übliche Definition!
> > Für die Differenzierbarkeit reicht es aus, dass der
> > wohlbekannte Grenzvert des Differenzenquotienten für x
> > gegen [mm]x_0[/mm] EXISTIERT. Fertig.
>
> Na wenn der Grenzwert von links (unten) nicht existiert,
> kann er auch nicht mit dem rechten (oben) Grenzwert
> übereinstimmen.
> Wenn diese zwei Grenzwerte nicht übereinstimmen kann man
> auch nicht differenzieren, sonst hätte man für ein und
> dieselbe Funktionen zwei verschiedene Ableitungen, was
> Schwachsinn wäre.
>
> Laut Definition kann man auch nur auf offenen Intervallen
> differenzieren,
Wer sagt den so was ????
FRED
> um diese Umgebung überhaupt zu haben, wo
> man den Grenzwert bilden möchte.
>
> Im obigen Beispiel ist die Funktion ja nicht auf einem
> offenen Intervall definiert, sondern auf einen halboffenen
> Intervall, womit man sich ein offenes Intervall suchen
> muss, wo man differnzieren möchte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Mo 28.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
Eine Funktion [mm] $F:U\to \IR$ [/mm] ( U offen) heißt diffbar in [mm] $x_0\in [/mm] U$, wenn der Grenzwert
[mm] $\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}$ [/mm] (mit $h = x - [mm] x_0$)
[/mm]
existiert.
Ich möchte mich jetzt nicht darüber streiten, da ich nur ein kleiner Student bin, aber so kenn ich die Definition. (analog auch per lineare Approximation [mm] $f(x)=f(a)\cdot [/mm] c(x-a)+r(x)$
Ein Funktion heißt diffbar in einem Intervall, falls sie für jedes x aus dem Intervall diffbar ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Eine Funktion [mm]F:U\to \IR[/mm] ( U offen) heißt diffbar in
> [mm]x_0\in U[/mm], wenn der Grenzwert
wozu hier U offen sein muß ist mir schleierhaft.
Üblicherweise wird gefordert, dass U ein Intervall ist.
FRED
>
> [mm]\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0 +h) - f(x_0)}{h}[/mm]
> (mit [mm]h = x - x_0[/mm])
>
> existiert.
> Ich möchte mich jetzt nicht darüber streiten, da ich nur
> ein kleiner Student bin, aber so kenn ich die Definition.
> (analog auch per lineare Approximation [mm]f(x)=f(a)\cdot c(x-a)+r(x)[/mm]
>
> Ein Funktion heißt diffbar in einem Intervall, falls sie
> für jedes x aus dem Intervall diffbar ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Mo 28.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Um es ganz klar zu sagen: die Funktion hat den Definitionsbereich
$ [mm] D=\{x|x\inR\wedgex\ge0\} [/mm] $ und ist in jedem Punkt von D tadellos differenzierbar.
Für x>0 dürfte das klar sein.
x=0: [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] \wurzel{x} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
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