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Differenzierbar in einem Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Sa 31.12.2005
Autor: Sherin

Aufgabe
Seien f: R --> R stetig und a,b sowie x0 reelle Zahlen. Betrachte die Funktion

    [mm] g(x)=\begin{cases} f(x), & \mbox x \le x0 \\ ax + b, & \mbox x > x0 \end{cases} [/mm]

Unter welcher zusätzlichen Annahme an f kann man a und b wählen, sodass g im Punkt x0 differenzierbar ist? Versuchen Sie, einer möglichst schwache Annahme zu finden.
          

Ich habe hier irgendwie überhaupt keinen Ansatz. Ich weiß, dass eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist, falls f(x) = f (a) + c (x-a) + v (x). Aber kann ich denn damit denn bei dieser aufgabe was anfangen.

Wäre echt dankbar für irgendwelche Ansätze!



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Grenzwertberechnung
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 15:51 Sa 31.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Sherin,

[willkommenmr] !!


Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist die Stetigkeit an der betrachteten Stelle [mm] $x_0$ [/mm] .

Es muss also gelten (linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert):

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g(x) [/mm] \ =\ [mm] g(x_0)$ [/mm]


Übertragen auf Deine Funktion:

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}[a*x+b] [/mm] \ =\ [mm] f(x_0)$ [/mm]



Ebenso müssen die Grenzwerte der Ableitungsfunktion übereinstimmen:

[mm] $\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g'(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g'(x)$ [/mm]


Wie lautet die Ableitung von $g(x)_$ (unterteilt in [mm] $x>x_0$ [/mm] bzw. [mm] $x\le x_0$ [/mm] ) ?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 Sa 31.12.2005
Autor: Sherin

Danke Loddar!

Die Ableitung von g(x),
für x  [mm] \le [/mm] x0: f'(x) und
für x > x0: a.

Was mache ich dann damit?



Bezug
                        
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: 2 Bedingungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Sa 31.12.2005
Autor: Loddar

Hallo Sherin!


> Die Ableitung von g(x),
> für x  [mm]\le[/mm] x0: f'(x) und
> für x > x0: a.

Streng genommen gilt die eine Teilableitung nur für $x \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] x_0$ [/mm] . Schließlich wollen wir die Differenzierbarkeit für $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] x_0$ [/mm] erst zeigen.


Das setzen wir nun in die Grenzwertbetrachtung für die Differenzierbarkeit ein und erhalten:

[mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ a$


Damit haben wir nun zwei Bedingungen für die beiden Unbekannten Parameter $a_$ und $b_$ ermittelt.

Evtl. könnte man die Gleichung $a \ =\ [mm] f'(x_0)$ [/mm] noch in die Gleichung der Stetigkeit [mm] $f(x_0) [/mm] \ =\ [mm] a*x_0+b$ [/mm] einsetzen und dann nach $b_$ umstellen.


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Sa 31.12.2005
Autor: Sherin

Das heißt, ich würde da rausbekommen:

a = f'(x) und b = f(x0) - f'(x) * x

?

Bezug
                                        
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:28 Mo 02.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Also, noch einmal:

Wenn der linksseitige Differentialquotient von $f$ an der Stelle [mm] $x_0$, [/mm]

[mm] $f'(x_0):= \lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$, [/mm]

existiert und gleich $a$ ist sowie die Beziehung

$b = [mm] f(x_0) [/mm] - [mm] f'(x_0) \cdot x_0$ [/mm]

gilt, dann ist $g$ in [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:21 Mo 02.01.2006
Autor: Sherin

Alles klar!! Dankeschön.. :)

Lg,
Sherin

Bezug
                
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Sa 31.12.2005
Autor: SEcki


> Ebenso müssen die Grenzwerte der Ableitungsfunktion
> übereinstimmen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow x_0\uparrow}g'(x) \ = \ \limes_{x\rightarrow x_0\downarrow}g'(x)[/mm]

Das ist so, wie es da steht, falsch. denn dann müsste die Funktion ja stetig diffbar sein. Das ist aber nicht verlangt, man muss hier anstatt [m]g'(x)[/m] in Wirklichkeit [m]\bruch{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}[/m] einsetzen, und die Differenzenquotienten betrachten. (Obiges ist für das Herangehen von rechts sicher okay, da aber f nur stetig vorrausgesetzt wird, ist stetige Diffbarkeit in einer Umgebung von [m]x_0[/m] sicher zu stark.)

SEcki

Bezug
        
Bezug
Differenzierbar in einem Punkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:50 Sa 31.12.2005
Autor: Stefan

Hallo!

Es muss also gelten (siehe den Kommentar von SEcki):

[mm] $\lim\limits_{x \uparrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] = a$.

Genau dann (angenommen die von Loddar genannte Stetigkeitsbedingung gilt) ist $g$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar.

Liebe Grüße
Stefan

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