Differenzierbare Funktionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vicki |
| Aufgabe | Sei V der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der beliebig oft diffenzierbaren Funktionen von [mm] \IR [/mm] nach [mm] \IR. [/mm] Seien [mm] \delta, \nu, \alpha: [/mm] V [mm] \to \IR [/mm] die Funktionen gegeben durch:
[mm] \delta(f) [/mm] = f(0)
[mm] \nu(f) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \alpha(f) [/mm] = f'(0)
für f [mm] \in [/mm] V.
a) Zeigen sie, dass [mm] \delta, \nu, \alpha [/mm] Elemente von V* sind.
b) Die Ableitung [mm] \partial/ \partial [/mm] x: V [mm] \to [/mm] V: f [mm] \mapsto [/mm] f' ist eine lineare Abbildung. [mm] (\partial/ \partial [/mm] x)* ist also (lineare) Abbildung von V* nach V*. Zeigen Sie, dass [mm] (\partial/ \partial [/mm] x)* [mm] (\delta) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] ist.
c) Zeigen sie, dass [mm] \delta, \nu, \alpha [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo zusammen,
Zur a habe ich einen Ansatz.
Um zu zeigen das [mm] \delta, \nu [/mm] und [mm] \alpha [/mm] Elemente von V* sind muss ich zeigen, dass die Abbildungen linear sind:
[mm] \delta(f+g) [/mm] = (f+g)(0) = f(0) +g(0) = [mm] \delta(f) [/mm] + [mm] \delta(g).
[/mm]
[mm] \delta(\lambda [/mm] f) = [mm] (\lambda [/mm] f)(0) = [mm] \lambda [/mm] f(0) = [mm] \lambda \delta(f).
[/mm]
[mm] \nu(f+g) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{(f+g)(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{g(x) dx} [/mm] = [mm] \nu(f) [/mm] + [mm] \nu(g)
[/mm]
und für [mm] \alpha(f) [/mm] analog.
Zu b) und c) könnte ich Tipps gut gebrauchen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mo 26.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo vicki!
Erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei V der [mm]\IR-Vektorraum[/mm] der beliebig oft diffenzierbaren
> Funktionen von [mm]\IR[/mm] nach [mm]\IR.[/mm] Seien [mm]\delta, \nu, \alpha:[/mm] V
> [mm]\to \IR[/mm] die Funktionen gegeben durch:
> [mm]\delta(f)[/mm] = f(0)
> [mm]\nu(f)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm]
> [mm]\alpha(f)[/mm] = f'(0)
> für f [mm]\in[/mm] V.
>
> a) Zeigen sie, dass [mm]\delta, \nu, \alpha[/mm] Elemente von V*
> sind.
> b) Die Ableitung [mm]\partial/ \partial[/mm] x: V [mm]\to[/mm] V: f [mm]\mapsto[/mm]
> f' ist eine lineare Abbildung. [mm](\partial/ \partial[/mm] x)* ist
> also (lineare) Abbildung von V* nach V*. Zeigen Sie, dass
> [mm](\partial/ \partial[/mm] x)* [mm](\delta)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] ist.
> c) Zeigen sie, dass [mm]\delta, \nu, \alpha[/mm] linear unabhängig
> sind.
> Hallo zusammen,
>
> Zur a habe ich einen Ansatz.
> Um zu zeigen das [mm]\delta, \nu[/mm] und [mm]\alpha[/mm] Elemente von V*
> sind muss ich zeigen, dass die Abbildungen linear sind:
>
> [mm]\delta(f+g)[/mm] = (f+g)(0) = f(0) +g(0) = [mm]\delta(f)[/mm] +
> [mm]\delta(g).[/mm]
> [mm]\delta(\lambda[/mm] f) = [mm](\lambda[/mm] f)(0) = [mm]\lambda[/mm] f(0) =
> [mm]\lambda \delta(f).[/mm]
>
> [mm]\nu(f+g)[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{(f+g)(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] + [mm]\integral_{0}^{1}{g(x) dx}[/mm] =
> [mm]\nu(f)[/mm] + [mm]\nu(g)[/mm]
>
> und für [mm]\alpha(f)[/mm] analog.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Zu b) und c) könnte ich Tipps gut gebrauchen!
Zu b: Wie ist denn [mm] \left(\bruch{\partial}{\partial x}\right)^\ast[/mm] definiert? Setze diese Definition ein und folgere daraus, dass [mm] \left(\bruch{\partial}{\partial x}\right)^\ast \delta =\alpha[/mm] ist!
Zu c: Lineare Unabhängigkeit geht wie in der linearen Algebra endlicher Vektorräume: du musst zeigen, dass aus
[mm] c_1 \delta + c_2 \nu +c_3 \alpha = 0[/mm]
zwingend [mm] $c_1=c_2=c_3$ [/mm] folgt. Bedenke dabei, dass die Ausgangsgleichung bedeutet, dass
[mm] c_1 \delta(f) + c_2 \nu(f) +c_3 \alpha(f) = 0[/mm] für jede beliebige Funktion [mm] $f\in [/mm] V$ ist.
Wähle geschickt Spezialfälle für f!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mo 26.05.2008 | | Autor: | vicki |
Vielen Dank. Ich habe mir jetzt noch mal etwas dazu überlegt.
V* = [mm] Hom(V,\IR) [/mm]
Es sei [mm] \overline{v} \in [/mm] V* eine beliebige Linearform.
Definiere [mm] (\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x)*:
[mm] ((\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x)* [mm] (\overline{v}))(f) [/mm] = [mm] (\overline{v} ((\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x))(f)
dann gilt:
[mm] (\delta (\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x)(f) = [mm] \delta ((\partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x)f) = [mm] \delta(f') [/mm] = f'(0) = [mm] \alpha [/mm] (f)
ich hoffe das ist irgendwie verständlich, weil ich glaube ich hab es nicht korrekt aufgeschrieben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:47 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo vicki!
> Vielen Dank. Ich habe mir jetzt noch mal etwas dazu
> überlegt.
>
> V* = [mm]Hom(V,\IR)[/mm]
> Es sei [mm]\overline{v} \in[/mm] V* eine beliebige Linearform.
>
> Definiere [mm](\partial[/mm] / [mm]\partial[/mm] x)*:
>
> [mm]((\partial[/mm] / [mm]\partial[/mm] x)* [mm](\overline{v}))(f)[/mm] =
> [mm](\overline{v} ((\partial[/mm] / [mm]\partial[/mm] x))(f)
>
> dann gilt:
>
> [mm](\delta (\partial[/mm] / [mm]\partial[/mm] x)(f) = [mm]\delta ((\partial[/mm] /
> [mm]\partial[/mm] x)f) = [mm]\delta(f')[/mm] = f'(0) = [mm]\alpha[/mm] (f)
Das ist richtig. Die Gleichung gilt für beliebige f, und daher gilt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 27.05.2008 | | Autor: | vicki |
Danke.
ZUr c) hab ich mir folgendes überlegt.
Angenommen [mm] \delta, \nu [/mm] und [mm] \alpha [/mm] sind linear abhängig dann gilt:
(für a,b,c [mm] \in \IR [/mm] und a [mm] \not= [/mm] b [mm] \not= [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0)
[mm] a\delta [/mm] + [mm] b\nu [/mm] + [mm] c\alpha [/mm] = 0
0= 0-Abbildung in V*
[mm] \forall [/mm] f gilt: [mm] (a\delta)(f) [/mm] + [mm] (b\nu)(f) [/mm] + [mm] (c\alpha)(f) [/mm] =0
a(f(0)) + [mm] b(\integral_{0}^{1}{f(x) dx}) [/mm] + c(f'(0) = 0
Sei nun f = konst. dann gilt:
a konst. + b(2x) + c0 = 0 diese Gleichung ist aber nur erfüllt, wenn a=b=c=0. Also ist es ein Widerspruch zur Annahme das a [mm] \not= [/mm] b [mm] \not= [/mm] c [mm] \not= [/mm] 0.
[mm] \Rightarrow \delta, \nu, \alpha [/mm] sind linear unabhänig.
reicht dieses eine Gegenbeispiel oder muss ich das noch für andere f s zeigen?
Gruß vicki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 27.05.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo vicki!
Dein Ansatz ist im Prinzip richtig, aber du hast nicht ganz richtig gerechnet.
> ZUr c) hab ich mir folgendes überlegt.
>
> Angenommen [mm]\delta, \nu[/mm] und [mm]\alpha[/mm] sind linear abhängig dann
> gilt:
> (für a,b,c [mm]\in \IR[/mm] und a [mm]\not=[/mm] b [mm]\not=[/mm] c [mm]\not=[/mm] 0)
>
> [mm]a\delta[/mm] + [mm]b\nu[/mm] + [mm]c\alpha[/mm] = 0
>
> 0= 0-Abbildung in V*
>
> [mm]\forall[/mm] f gilt: [mm](a\delta)(f)[/mm] + [mm](b\nu)(f)[/mm] + [mm](c\alpha)(f)[/mm] =0
>
> a(f(0)) + [mm]b(\integral_{0}^{1}{f(x) dx})[/mm] + c(f'(0) = 0
>
> Sei nun f = konst. dann gilt:
>
> a konst. + b(2x) + c0 = 0
Das stimmt so nicht. In [mm] $\nu$ [/mm] steckt ein bestimmtes Integral. Wenn f=K ist, so ergibt sich
[mm] a\cdot K + b* K +c* 0 = 0[/mm]
Daraus kannst du nur $a+b=0$ folgern, und über c kannst du gar nichts aussagen.
Versuche es mit zwei anderen einfachen Funktionen f; dadurch bekommst du weitere Bedingungen, aus denen du a=b=c=0 folgern kannst.
Viele Grüße
Rainer
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