Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Do 13.08.2015 | | Autor: | Pi_sner |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Sei [mm] $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$ [/mm] differenzierbar, dann folgt [mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}\to [/mm] 0 [mm] (||t||\to [/mm] 0)$ gleichmäßig. |
Ich bin hier leider Ideelos. Störe mich sowohl an $-f'(x)t$ im Nenner als auch der geforderten gleichmäßigen Konvergenz. Hat jemand einen Tipp?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:56 Do 13.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pi_sner!
Leider habe ich gerade nicht viel Zeit, daher nur knapp als erster Input:
- Wenn du das Wort "gleichmäßig" streichst, kannst du die Behauptung relativ direkt aus der Definition der Differenzierbarkeit folgern.
- Ich bin mir nicht hundertprozentig sicher, ob ich den Begriff der gleichmäßigen Konvergenz hier richtig verstehe: Eigentlich kenne ich ihn nur für Funktionenfolgen, glaube aber, mir die hier passende Definition zusammenreimen zu können.
- Wenn ich damit richtig liege, liefert die Funktion
[mm] $f\colon\IR\to\IR,\quad f(x)=x^3$
[/mm]
ein Gegenbeispiel zur Behauptung aus der Aufgabenstellung, wie man sich überlegen kann.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:06 Fr 14.08.2015 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie: Sei [mm]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n[/mm]
> differenzierbar, dann folgt
> [mm]\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}\to 0 (||t||\to 0)[/mm]
> gleichmäßig.
> Ich bin hier leider Ideelos. Störe mich sowohl an [mm]-f'(x)t[/mm]
> im Nenner
Du meinst im Zähler. Aber was stört Dich daran ? Ist $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] so heißt f in x differenzierbar, wenn es eine reelle $n [mm] \times [/mm] n$ - Matrix A gibt mit:
[mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-At||}{||t||} \to [/mm] 0$ [mm] ($||t||\to [/mm] 0$).
In diesem Fall ist A eindeutig bestimmt und wird mit $ f'(x)$ bezeichnet.
Du störst Dich also an einer Definition ......
> als auch der geforderten gleichmäßigen
> Konvergenz. Hat jemand einen Tipp?
Zeigen sollst Du:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit:
[mm] $\frac{||f(x+t)-f(x)-f'(x)t||}{||t||}< \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] und alle $t [mm] \in \IR^n$ [/mm] mit $0<||t||< [mm] \delta$.
[/mm]
Wie mein Vorredner Tobias schon gesagt hat, kann man das nicht zeigen, denn es ist falsch ! Tobias hat schon ein Gegenbeispiel genannt. Hier noch eines:
Sei n=1 und [mm] f(x)=e^x. [/mm] Wäre die Beh. richtig, so gäbe es zu [mm] \varepsilon=1 [/mm] ein [mm] \delta [/mm] > 0 mit
[mm] e^x*|\bruch{e^t-1-t}{t}|<1 [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] und alle t [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] 0<|t|<\delta,
[/mm]
also
[mm] |\bruch{e^t-1-t}{t}|
Ist t [mm] \in \IR [/mm] fest und [mm] 0<|t|<\delta, [/mm] so bekommt man daraus mit $x [mm] \to \infty$ [/mm] :
[mm] |\bruch{e^t-1-t}{t}|=0.
[/mm]
Das ist aber absurd.
FRED
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