Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Fr 05.10.2018 | | Autor: | fred97 |
| Aufgabe | Angeregt durch die Diskussion in https://matheraum.de/read?t=1092800 mache ich folgenden Vorschlag:
sei $ [mm] \emptyset \ne [/mm] D [mm] \subseteq \IR^n, [/mm] f:D [mm] \to \IR^m$ [/mm] eine Funktion, $p [mm] \in [/mm] D$ und $p$ sei ein Häufungspunkt von $D$.
Wir nennen $f$ semi-differenzierbar (kurz sdb) in $p$, wenn es eine reelle $m [mm] \times [/mm] n$ - Martix $T$ gibt mit
(*) [mm] $\lim_{x \to p, x \in D \setminus \{p\}}\frac{f(x)-f(p)-T(x-p)}{||x-p||}=0$.
[/mm]
Hierbei bezeichene $|| [mm] \cdot||$ [/mm] irgendeine Norm auf [mm] \IR^n [/mm] (welche ist völlig egal, denn alle Normen auf [mm] \IR^n [/mm] sind äquivalent).
Im Folgenden sei $|| [mm] \cdot||$ [/mm] die euklidische Norm.
Bemerkungen:
1. ist $n=m=1$, so gilt:
$f$ ist differenzierbar in $p$ [mm] \gdw [/mm] $f$ ist sdb in $p$. In diesem Fall ist $T=f'(p)$.
2. ist $D$ offen, so gilt:
$f$ ist differenzierbar in $p$ [mm] \gdw [/mm] $f$ ist sdb in $p$. In diesem Fall ist $T=f'(p)$.
3. I.a. ist die Matrix $T$ in obiger Def. (*) nicht eindeutig bestimmt, wie folgendes Beispiel zeigt:
Es sei [mm] $D=\{(x,x): x \in \IR\}, [/mm] f(x,y):=0$ für $(x,y) [mm] \in [/mm] D$ und $p=(0,0)$. Für $T=(a,b)$ haben wir (mit $(x,y) [mm] \in [/mm] D$)
[mm] $\frac{f(x,y)-f(p)-T((x,y)-p)}{||(x,y)-p||}=-\frac{x}{\sqrt{2}|x|}(a+b)$.
[/mm]
Nun sieht man: jedes $T=(a,b)$ mit $a+b=0$ erfüllt (*). |
Zur Aufgabe: seien [mm] $u_1,...,u_n$ [/mm] linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^n, [/mm] sei $p$ Häufungspunkt jeder der Mengen $D [mm] \cap \{p+tu_i: t \in \IR\}, \quad [/mm] i=1,...,n$ und sei $f$ sdb in $p$.
Dann ist die Matrix $T$ in (*) eindeutig bestimmt.
Ich bitte jemanden aus dem Kreis der Moderatoren, diese Aufgabe als Übungsaufgabe zu kennzeichnen.
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