Differenzierbarkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Do 26.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR\to\IR [/mm] mit
[mm] x\to\begin{cases} 0, & \mbox{für } x = \mbox{ 0} \\ x^{2}sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{für } x \not= \mbox{ 0} \end{cases}
[/mm]
Zu zeigen: f ist diffbar in allen [mm] x\in\IR.
[/mm]
Berechnen Sie die Ableitung. Ist f`(x) in allen [mm] x\in\IR [/mm] stetig?
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Hallo an Alle!
Wenn ich richtig liegen ist eine Funktion differenzierbar, wenn ihr Grenzwert exsistiert.
Also behaupte ich, dass die gegebene Funktion f in allen [mm] x\in\IR/ \{ 0\}
[/mm]
Ich weiß aber nicht wie ich ansetzten muss um dies zu beweisen?
Die Ableitung von f muss ich mit der Produkt und Kettenregel bestimmt:
Dann ergibt sich für f'(x)= [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x})+x^{2}*cos(\bruch{1}{x}) [/mm] *(- [mm] \bruch{1}{x^{2}}) [/mm] = [mm] 2x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] - [mm] cos(\bruch{1}{x})
[/mm]
Auch mit dem Stetigeitsbeweis weiß ich nicht wie ich anfangen soll?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
Liebe Grüße Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Do 26.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
die Funktion ist ja für alle x [mm] \not= [/mm] 0 diffbar, das kann man ja schnell sehen. Interessant ist nur die 0.
Nach Definition ist eine Funktion in [mm] x_{0} [/mm] diffbar, wenn
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
exisitiert. Dies ist dann die Ableitung in [mm] x_{0}.
[/mm]
Für Deine Funktion ergibt sich für alle Folgen [mm] \not= [/mm] 0, die gegen 0 konvergieren
[mm] \limes_{x \rightarrow x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0} \bruch{x^{2}*sin(\bruch{1}{x})-0}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x \rightarrow 0} x*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] = 0,
da der Sinus ja betragsmäßig kleiner gleich 1 bleibt für alle reellen Argumente. Daher ist f in 0 diffbar, und es gilt
f'(0) = 0
Liebe Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Do 26.01.2006 | | Autor: | LenaFre |
das verstehe ich jetzt nicht. erst sagst du f ist für alle [mm] x\not=0 [/mm] diffbar und dann zeigst du das [mm] f(x)=x^{2}*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] in [mm] x_{0}=0 [/mm] diffbar ist; aber die Funktion ist doch für [mm] x_{0}=0 [/mm] als f( [mm] x_{0})=0 [/mm] definiert. Wieso untersuchst du dann [mm] f(x)=x^{2}*sin(\bruch{1}{x}) [/mm] an der Stelle 0?
Hab ich die erste Ableitung richtig gebildet und was ist mit der Stetigkeit?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 26.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Lena!
Die Funktion $f$ ist an allen Stellen $x [mm] \ne [/mm] 0$ nach den üblichen Sätzen und dem zurückführen auf bekanntlich differenzierbare Funktionen trivialerweise differenzierbar. Es ist also nur die Stelle $x=0$ zu untersuchen.
Und hier musst du ja die Differenzenquotienten bilden:
[mm] $\frac{f(x) - f(0)}{x-0}$,
[/mm]
und dann $x [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen. In den Differenzenquotienten taucht aber $f(x)$ für $x$ in der Nähe von $x$ auf, die aber ungleich $0$ sind. Daher muss man es genauso machen, wie djmatey es vorgemacht hat.
Wir wissen nun also (deine Ableitung war richtig ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
$f'(x) = 2x [mm] \sin \left( \frac{1}{x} \right) [/mm] - [mm] \cos \left( \frac{1}{x} \right)$
[/mm]
und
$f'(0)=0$.
Ist nun also $f'$ in $0$ stetig? Gilt also:
[mm] $\lim\limits_{x \to 0} [/mm] f'(x) = f'(0)$ ?
Nein, denn der linke Grenzwert existiert überhaupt nicht. Zwar konvergiert der erste Summand von $f'(x)$, also $2x [mm] \sin \left( \frac{1}{x} \right)$, [/mm] gegen $0$, aber der zweite Summand, also $- [mm] \cos \left( \frac{1}{x} \right)$, [/mm] divergiert. Daher divergiert auch die Summe.
Liebe Grüße
Stefan
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