Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ist die Fkt.
[mm] f(x)=x^{4}*sin(\bruch{1}{x}), [/mm] x [mm] \not= [/mm] 0, f(0)=0
einmal oder zweimal stetig diff.-bar auf [mm] \IR? [/mm] |
Wie gehe ich da ran? Wie überprüfe ich das?
Muss ich die Ableitung überhaupt bilden? Diff.-barkeit hat doch etwas mit dem Grenzwert zu tun oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Ist die Fkt.
> [mm]f(x)=x^{4}*sin(\bruch{1}{x}),[/mm] x [mm]\not=[/mm] 0, f(0)=0
>
> einmal oder zweimal stetig diff.-bar auf [mm]\IR?[/mm]
> Wie gehe ich da ran? Wie überprüfe ich das?
> Muss ich die Ableitung überhaupt bilden? Diff.-barkeit hat
> doch etwas mit dem Grenzwert zu tun oder?
Also ausserhalb des Nullpunktes ist die Funktion unendlich oft stetig diffbar, da [mm] $\frac{1}{x}$, $x^4$ [/mm] und [mm] $\sin [/mm] x$ dies sind und das dann per Kettenregel und Produktregel fuer $f(x)$ folgt. Die Ableitungen kannst du da auch problemlos berechnen.
Problematisch wird es fuer $x = 0$. Dort musst du die Ableitung `von Hand' bestimmen, z.B. in dem du den Diffquotienten betrachtest und den Grenzwert ausrechnest.
Wenn du das hast (also der Grenzwert existiert), kannst du die Ableitung von $f'$ auch im Nullpunkt angeben. Dann hast du wieder so eine ueber Fallunterscheidung definierte Funktion fuer die Ableitung, mit der du so weitermachst bis der Grenzwert irgendwann nicht mehr existiert oder die Funktion unstetig wird...
LG Felix
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Muss ich im Bereich von 0 noch Betrachungen machen, da ich ja in der Aufgabe x [mm] \not= [/mm] 0 gegeben hab? Komisch finde ich, das die Frage nach 1 oder 2 mal stetig diffbar ist, obwohl sie ja anscheinend unendlich diffbar ist...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Muss ich im Bereich von 0 noch Betrachungen machen, da ich
Ja, definitiv!
> ja in der Aufgabe x [mm]\not=[/mm] 0 gegeben hab?
Nein, das hast du nicht! In der Aufgabe wird die Funktion fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$ als [mm] $x^4 \sin\frac{1}{x}$ [/mm] definiert und fuer $x = 0$ als $0$. Die Funktion ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert!
> Komisch finde ich,
> das die Frage nach 1 oder 2 mal stetig diffbar ist, obwohl
> sie ja anscheinend unendlich diffbar ist...
Sie ist auf [mm] $\IR \setminus \{ 0 \}$ [/mm] unendlich oft diffbar. Aber nicht auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Du musst dir also eigentlich nur den Nullpunkt anschauen!
LG Felix
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Danke, ja stimmt natürlich, was du sagst :)
Also Diffquotienten heißt doch:
Der GW [mm] f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
heisst:
f'(0)= [mm] \limes_{h\rightarrow0} \bruch{h^4*sin (\bruch{1}{h})}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow0} h^3*sin(\bruch{1}{h})=0?
[/mm]
Wie mach ich nun weiter?
Aber was meintest du mit "ueber Fallunterscheidung definierte Funktion fuer die Ableitung, mit der du so weitermachst bis der Grenzwert irgendwann nicht mehr existiert oder die Funktion unstetig wird..."?
LG Tim
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Di 09.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Tim!
> Also Diffquotienten heißt doch:
> Der GW [mm]f'(x_{0})= \limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> heisst:
> f'(0)= [mm]\limes_{h\rightarrow0} \bruch{h^4*sin (\bruch{1}{h})}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow0} h^3*sin(\bruch{1}{h})=0?[/mm]
Genau.
> Wie mach ich nun weiter?
Nun, du schaust die Ableitungsfunktion $g := f'$ an. Es ist $g(0) = 0$ (wegen oben) und $g(x) = f'(x)$ (Ableiten musst du selber  ) fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$.
Diese Funktion untersuchst du nun ebenso auf Differenzierbarkeit im Nullpunkt. Und wenn das nicht klappt, schau nach, ob sie ueberhaupt stetig ist.
Wenn sie differenzierbar ist, dann schau dir davon wieder die Ableitung an (nenne sie etwa $h$). Ist $h$ stetig? Wenn $h$ stetig ist, dann ist $f$ zweimal stetig diffbar. Wenn $h$ nicht stetig ist, aber $g$ stetig ist, dann ist $f$ einmal stetig diffbar.
Wenn $g$ nichtmals stetig ist, dann ist $f$ keinmal stetig diffbar.
> Aber was meintest du mit "ueber Fallunterscheidung
> definierte Funktion fuer die Ableitung, mit der du so
> weitermachst bis der Grenzwert irgendwann nicht mehr
> existiert oder die Funktion unstetig wird..."?
Ist das jetzt etwas klarer?
LG Felix
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Hallo Felix,
danke erstmal wieder, also hab ich dich jetzt richtig verstanden, dass ich jetzt g'(0)=$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} h^2\cdot{}sin(\bruch{1}{h})=0 [/mm] bilden sollte?
Das wäre doch nun die 2te Ableitung von f(x) oder?
Dann müsste ich wohl noch die 3te bilden mit
d'(0)=$ [mm] \limes_{h\rightarrow0} h\cdot{}sin(\bruch{1}{h})=0 [/mm] ?
Wie ging das denn mit der Stetigkeitsprüfung?
....ist doch umfangreicher als ich dachte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke erstmal wieder, also hab ich dich jetzt richtig
> verstanden, dass ich jetzt g'(0)=$ [mm]\limes_{h\rightarrow0} h^2\cdot{}sin(\bruch{1}{h})=0[/mm]
> bilden sollte?
Genau. Aber bist du dir sicher, dass du da das richtige berechnest? Du musst doch [mm] $\lim_{h\to0} \frac{f'(h)}{h}$ [/mm] berechnen, und $f'(x) = 4 [mm] x^3 \sin\frac{1}{x} [/mm] - [mm] x^2 \cos\frac{1}{x}$ [/mm] fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$!
> Das wäre doch nun die 2te Ableitung von f(x) oder?
Ja. Also ist $g$ schonmal zweimal differenzierbar. (Ob die zweite Ableitung stetig ist weisst du bisher noch nicht.)
> Dann müsste ich wohl noch die 3te bilden mit
> d'(0)=$ [mm]\limes_{h\rightarrow0} h\cdot{}sin(\bruch{1}{h})=0[/mm]
> ?
Musst du nicht, es reicht zu ueberpruefen, ob die zweite Ableitung stetig ist.
> Wie ging das denn mit der Stetigkeitsprüfung?
Du musst die Stetigkeit nur im Nullpunkt ueberpruefen (woanders ist $f$ unendlich oft stetig diffbar, insb. ist also $f''$ ueberall sonst stetig), also schaun ob [mm] $\lim_{h\to 0} [/mm] f''(h)$ gleich dem Wert ist, den du fuer die zweite Ableitung in $0$ herausbekommen hast.
LG Felix
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Also nochmal langsam zum mitmeißeln, irgendwie hab ich ein Brett vorm Kopf...
1.) Ich bilde die Ableitung von f(x) wie gewohnt mit Produktregel, kann daraus schlußfolgern, dass die Fkt. für [mm] x\not=0 [/mm] unendlich oft stetig diffbar ist.
2.) ich betrachte x=0, muss dabei den Diffquot von f(x) bilden, der besagt, dass der GW, also sich f(x) an 0 annähert auch wieder 0 ergibt? (was weiß ich da)??
3.) nun mach ich dasgleiche mit f'(x), also bilde davon den Diffquot und erhalte nun g'(0)= [mm] \limes_{h\rightarrow0} 4*h^2*sin(\bruch{1}{h})-h*cos(\bruch{1}{h})=0
[/mm]
Was weiß ich da jetzt?
Also würd ich doch nun g'(0)=0 mit was vergleichen und wovon die Stetigkeit testen?
Großes Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Mi 10.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also nochmal langsam zum mitmeißeln, irgendwie hab ich ein
> Brett vorm Kopf...
>
> 1.) Ich bilde die Ableitung von f(x) wie gewohnt mit
> Produktregel, kann daraus schlußfolgern, dass die Fkt. für
> [mm]x\not=0[/mm] unendlich oft stetig diffbar ist.
Genau.
> 2.) ich betrachte x=0, muss dabei den Diffquot von f(x)
> bilden, der besagt, dass der GW, also sich f(x) an 0
> annähert auch wieder 0 ergibt? (was weiß ich da)??
Du weisst, das $f$ auch in $0$ differenzierbar ist (weil der Grenzwert existiert) mit $f'(0) = 0$ (weil der Grenzwert $0$ ist).
> 3.) nun mach ich dasgleiche mit f'(x), also bilde davon den
> Diffquot und erhalte nun g'(0)= [mm]\limes_{h\rightarrow0} 4*h^2*sin(\bruch{1}{h})-h*cos(\bruch{1}{h})=0[/mm]
>
> Was weiß ich da jetzt?
Du weisst, dass $f' = g$ auch in $0$ differenzierbar ist mit $f''(0) = g'(0) = 0$.
> Also würd ich doch nun g'(0)=0 mit was vergleichen und
> wovon die Stetigkeit testen?
Damit $f'' = g'$ stetig ist, muss [mm] $\lim_{h\to0} [/mm] g'(h) = g'(0) = 0$ sein (und der Grenzwert muss insbesondere existieren).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mi 10.05.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo user
vielleicht wird es dir klarer, wenn du siehst, dass x*sin1/x in 0 zwar noch stetig ist, dort aber nicht mehr diff.bar weil sin1/x in 0 nicht stetig ist!
Gruss leduart
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Da mangelt es mir wahrscheinlich hier an Wissen, denn was bedeutet denn Stetigkeit und Diffbarkeit in einen Punkt, also hier 0?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:24 Do 11.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Da mangelt es mir wahrscheinlich hier an Wissen, denn was
> bedeutet denn Stetigkeit und Diffbarkeit in einen Punkt,
> also hier 0?
Eine Funktion $f : U [mm] \to \IR$ [/mm] heisst stetig in einem Punkt $x [mm] \in [/mm] U$ (ein innerer Punkt sollte es sein), wenn [mm] $\lim_{t \to x} [/mm] f(t)$ existiert und gleich $f(x)$ ist.
Und eine Funktion $f : U [mm] \to \IR$ [/mm] heisst diffbar in einem Punkt $x [mm] \in [/mm] U$ (ebenfalls ein innerer Punkt), wenn [mm] $\lim_{t \to x} \frac{f(t) - f(x)}{t - x}$ [/mm] existiert. Der Grenzwert wird im Falle der Existenz mit $f'(x)$ bezeichnet.
Differenzierbarkeit in einem Punkt impliziert Stetigkeit in dem Punkt.
LG Felix
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Also bin ich doch damit im Grunde genommen schon fertig:
für x=0:
[mm] f'(x_{0}=0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} h^3 *sin\frac{1}{h}=0
[/mm]
f ist in 0 diffbar -> f'(0)=0
g:= f'(x), also ist g(0)=0
[mm] g'(x_{0}=0)= \lim_{h \to 0} \frac{4(x_{0}+h)^3*sin\frac{1}{x_{0}+h} - h^2cos(\bruch{1}{x_{0}+h})}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} 4h^2*sin\frac{1}{h} [/mm] - hcos [mm] \bruch{1}{h}=0 [/mm]
g ist auch in 0 diffbar -> f"(0)=0
aber da die Fkt. nun 2mal stetig diffbar auf [mm] \IR [/mm] ist, könnte sie doch sogar noch öfter stetig diffbar sein-oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 14.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also bin ich doch damit im Grunde genommen schon fertig:
> für x=0:
>
> [mm]f'(x_{0}=0)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm] =
> [mm]\lim_{h \to 0} h^3 *sin\frac{1}{h}=0[/mm]
> f ist in 0 diffbar ->
> f'(0)=0
>
> g:= f'(x), also ist g(0)=0
> [mm]g'(x_{0}=0)= \lim_{h \to 0} \frac{4(x_{0}+h)^3*sin\frac{1}{x_{0}+h} - h^2cos(\bruch{1}{x_{0}+h})}{h}[/mm]
> = [mm]\lim_{h \to 0} 4h^2*sin\frac{1}{h}[/mm] - hcos [mm]\bruch{1}{h}=0[/mm]
> g ist auch in 0 diffbar -> f"(0)=0
Genau.
> aber da die Fkt. nun 2mal stetig diffbar auf [mm]\IR[/mm] ist,
Wieso ist sie das? Du hast bisher nur gezeigt, dass die zweite Ableitung existiert, aber nicht, das sie auch stetig ist! Du musst also noch [mm] $\lim_{h\to 0} [/mm] f''(h) = f''(0)$ zeigen.
> könnte sie doch sogar noch öfter stetig diffbar sein-oder?
Ja, wenn sie stetig waere, schon. Wenn sie nciht stetig ist, kann sie auch nicht noch oefter diffbar sein (da Differenzierbarkeit Stetigkeit impliziert).
LG Felix
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Ich glaub jetzt ist langsam der Groschen gefallen, also
Diffbarkeit hab ich ja überprüft und als offenbar beliebig oft durchführbar
Nun zur Stetigkeit:
[mm] \lim_{h\to0} [/mm] f'(h) = f'(0) = 0:
[mm] \lim_{h\to0} 4h^3*SIN(\bruch{1}{h}) [/mm] - [mm] h^2*COS(\bruch{1}{h}) [/mm] = 0 -> w.A.
und für [mm] \lim_{h\to 0} [/mm] f''(h) = f''(0)
[mm] \lim_{h\to0}(12*h^2 [/mm] - [mm] 1)*SIN(\bruch{1}{h}) [/mm] - [mm] 6*x*COS(\bruch{1}{h}) =sin(\infty)-> [/mm] f.A., d.h. die Fkt. ist nur 1x stetig diffbar-oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:31 Mo 15.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Diffbarkeit hab ich ja überprüft und als offenbar beliebig
> oft durchführbar
Wieso beliebig oft?! Das stimmt definitiv nicht! (Also ueberall ausser im Nullpunkt stimmt es schon, dort aber nicht!)
> Nun zur Stetigkeit:
>
> [mm]\lim_{h\to0}[/mm] f'(h) = f'(0) = 0:
> [mm]\lim_{h\to0} 4h^3*SIN(\bruch{1}{h})[/mm] -
> [mm]h^2*COS(\bruch{1}{h})[/mm] = 0 -> w.A.
Also $f'$ ist offensichtlich stetig, da $f'$ differenzierbar ist. (Wie du bereits nachgerechnet hast.)
> und für [mm]\lim_{h\to 0}[/mm] f''(h) = f''(0)
> [mm]\lim_{h\to0}(12*h^2[/mm] - [mm]1)*SIN(\bruch{1}{h})[/mm] -
> [mm]6*x*COS(\bruch{1}{h}) =sin(\infty)->[/mm] f.A., d.h. die Fkt.
Was ist das fuer ein $x$? Und [mm] $\sin(\infty)$ [/mm] gibt es nicht. Du meinst wohl:
[mm] $\lim_{h\to0} [/mm] f''(h) = [mm] \lim_{x\to\infty} -\sin(x)$ [/mm] und somit existiert der Grenzwert nicht, da [mm] $\lim_{x\to\infty} \sin(x)$ [/mm] nicht existiert?
> ist nur 1x stetig diffbar-oder?
Genau.
LG Felix
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Hm, oh well, also danke ertsmal für die Hilfe.
Ich glaube es jetzt einigermaßen verstanden zu haben, aber nochmal zu dem [mm] sin(\infty) [/mm] - das hab ich zugegebenermaßen in Derive zum Überprüfen reingehauen und der hat mir das geliefert....
Obwohl es natürlich irgendwie sinnfrei ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 16.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hm, oh well, also danke ertsmal für die Hilfe.
>
> Ich glaube es jetzt einigermaßen verstanden zu haben, aber
> nochmal zu dem [mm]sin(\infty)[/mm] - das hab ich zugegebenermaßen
> in Derive zum Überprüfen reingehauen und der hat mir das
> geliefert....
DERIVE wollte wohl damit sagen, dass der Grenzwert nicht existiert. Die Menge der Haeufungspunkte von [mm] $\sin [/mm] x$ fuer $x [mm] \to \infty$ [/mm] ist $[-1, 1]$; MAPLE zum Beispiel spuckt fuer den Grenzwert einfach das Intervall $[-1, 1]$ aus.
> Obwohl es natürlich irgendwie sinnfrei ist.
Genau
LG Felix
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