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Hallo zusammen. Ich habe ein kleines Problem mit folgender Aufgabe [mm] f:\IR \to \IR f(x)=\begin{cases} \bruch{\sqrt{x}-1}{x-1}, & \mbox{für } x \not= 1 \mbox{} \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x = 1 \mbox{} \end{cases}. [/mm] Gucken SIe ob die funktion diff'bar in x=1
Mittelwertsatz lautet ja nun [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
[/mm]
Das ergibt für mich jetzt [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{\bruch{\sqrt{x}-1}{x-1}-\bruch{0}{0}}{x-1}
[/mm]
Mein erstes Problem ist jetzt eigentlich folgendes: Da ich im Zähler das Argument [mm] \bruch{0}{0} [/mm] habe, bin ich zunächst ein bischen verwirrt wie es weitergehen soll. Kann ich das weglassen, oder muss ich das nach L'hospital berechnen???
Mit freundlichen Grüßen domenigge135
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 02.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo zusammen. Ich habe ein kleines Problem mit folgender
> Aufgabe [mm]f:\IR \to \IR f(x)=\begin{cases} \bruch{\sqrt{x}-1}{x-1}, & \mbox{für } x \not= 1 \mbox{} \\ \bruch{1}{2}, & \mbox{für } x = 1 \mbox{} \end{cases}.[/mm]
> Gucken SIe ob die funktion diff'bar in x=1
>
> Mittelwertsatz lautet ja nun [mm]\limes_{x\rightarrow\ x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm]
>
> Das ergibt für mich jetzt [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1}\bruch{\bruch{\sqrt{x}-1}{x-1}-\bruch{0}{0}}{x-1}[/mm]
>
> Mein erstes Problem ist jetzt eigentlich folgendes: Da ich
> im Zähler das Argument [mm]\bruch{0}{0}[/mm] habe, bin ich zunächst
> ein bischen verwirrt wie es weitergehen soll. Kann ich das
> weglassen, oder muss ich das nach L'hospital berechnen???
Hallo, da kannst du machen, musst du aber nicht.
Es ist [mm] x-1=(\wurzel{x}-1)*(\wurzel{x}+1). [/mm] Damit kürzt sich dein Bruch so weit, dass der Grenzwert sofort ablesbar ist.
Viele Grüße
Abakus
>
> Mit freundlichen Grüßen domenigge135
>
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Gut das mit dem kürzen ist nicht schlecht. Dann habe ich nun noch dazustehen [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1} [/mm] Könnte ich das dann in den m ittelwertsatz einsetzen??? Ich glaub das wird ein bischen schwieriger als ichg gedacht hatte
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mi 02.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Gut das mit dem kürzen ist nicht schlecht. Dann habe ich
> nun noch dazustehen [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+1}[/mm] Könnte ich das
> dann in den m ittelwertsatz einsetzen???
Häää?
Lasse im Term [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+1}[/mm] einfach x gegen 1 gehen.
Mehr ist es nicht.
> Ich glaub das wird
> ein bischen schwieriger als ichg gedacht hatte
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Genau. So sehe ich das auch. Dann wäre nämlich [mm] \bruch{1}{2} [/mm] die stetige ergänzung und somit wäre die Funktion dann diff'bar. Allerdings habe ich in einer Musterlösung das Ergebnis [mm] \bruch{-1}{8} [/mm] zu stehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
> Allerdings habe ich in einer Musterlösung das
> Ergebnis [mm]\bruch{-1}{8}[/mm] zu stehen.
Das ist ja auch der Wert der Ableitung an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ ...
Gruß
Loddar
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Okay. Also der Grenzwert ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] darüber sind wir uns ja einig. Aber wieso bruache ich jetzt noch den Ableitungswert???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Du sollst doch laut Aufgabenstellung überprüfen, ob die Funktion bei [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 1$ differenzierbar ist.
Gruß
Loddar
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Ja genau aber laut Musterlösung ist die Funktion ja diff'bar. Aber hierfür muss ja der Wert mit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] übereinstimmen. Das tut er doch aber nicht wenn ich [mm] \bruch{-1}{8} [/mm] erhalte. Also irgendwo ist gerade der Wurm drin. Ich versteh das ja sonst für andere Aufgaben. Aber hier ist das irgendwie komisch :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:20 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Du schmeißt hier die ganze Zeit den funktionswert $f(1) \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] mit demm Ableitungswert $f'(1) \ = \ [mm] -\bruch{1}{8}$ [/mm] durcheinander.
Mit der o.g. Grenzwertbetrachtung hast Du lediglich die Stetigkeit gezeigt, nicht jedoch die Diff'barkeit.
Gruß
Loddar
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Ohhh... Stimmt  ich muss das ja für die Ableitung machen an dieser Stelle. Das war entweder über Polynomdivision oder über links und rechtsseitigen Grenzwert mit Ableitung
Könntest du mir vielleicht einen gefallen tun??? Ich schaff einfach nicht die Ableitung von der Funktion [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1} [/mm] Also ich erhalte jetzt [mm] \bruch{\bruch{1}{2}(x)^{-\bruch{1}{2}}(x-1)-\wurzel{x}-1(1)}{(x-2)^{2}}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo domenigge!
Verwende für die Ableitung die Darstellung $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1} [/mm] \ = \ [mm] \left( \ \wurzel{x}+1 \ \right)^{-1}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Okay ich probier das mal allerdings zu morgen dann. Wird ja auch immer später jetzt. Also ich mache dann aus [mm] \bruch{\wurzel{x}-1}{x-1} [/mm] die Schreibweise [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+1} [/mm] bzw. [mm] (\wurzel{x}+1)^{-1} [/mm] um das dann berechnen zu können, mach ich das doch am besten mit innerer und äußerer Ableitung oder???
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Hallo domenigge135,
> Okay ich probier das mal allerdings zu morgen dann. Wird ja
> auch immer später jetzt. Also ich mache dann aus
> [mm]\bruch{\wurzel{x}-1}{x-1}[/mm] die Schreibweise
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+1}[/mm] bzw. [mm](\wurzel{x}+1)^{-1}[/mm] um das
> dann berechnen zu können, mach ich das doch am besten mit
> innerer und äußerer Ableitung oder???
Ja.
Gruß
MathePower
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Okay mit der Schreibweise kriege ich dann auch [mm] \bruch{-1}{8} [/mm] raus. Dankeschön für eure hilfe!!!
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