Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 14.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Zeige f ist nicht differenzierbar! |
Hallo!
Ich zeige [mm] \bruch{ df }{ \partial x} [/mm] ist nicht stetig:
Mit Quotientenregel und Überprüfung von ![[]](/images/popup.gif) Wolphramalpha gilt:
[mm] \bruch{ df }{ \partial x } [/mm] = [mm] \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] - [mm] \bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} [/mm] ( für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) )
Da: [mm] \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] - [mm] \bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} \le \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{y}
[/mm]
folgt für die beiden Nullfolgen, [mm] (x_n)->0 [/mm] und [mm] (y_n)->0 [/mm] mit [mm] (y_n)<0:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n)\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|y_n|}{y_n}=-1
[/mm]
Also ist f nicht stetig partiell diffbar
da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n) \le [/mm] -1
aber [mm] \bruch{df}{\partial x}( \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n) [/mm] = [mm] \bruch{df}{\partial x}(0,0) [/mm] = 0
f ist nicht diffbar.
Darf ich so argumentieren?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:06 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Zeige f ist nicht differenzierbar!
> Hallo!
>
> Ich zeige [mm]\bruch{ df }{ \partial x}[/mm] ist nicht stetig:
Das brint Dir nichts. Dann weißt Du nur : f ist nicht stetig diff.-bar.
> Mit Quotientenregel und Überprüfung von
> Wolphramalpha
> gilt:
>
> [mm]\bruch{ df }{ \partial x }[/mm] = [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> - [mm]\bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}[/mm] ( für (x,y)
> [mm]\not=[/mm] (0,0) )
>
> Da: [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] - [mm]\bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} \le \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{y}[/mm]
Diese Abschätzung ist doch Unfug ! Das siehst Du, wenn Du mal y=-1 setzt.
>
> folgt für die beiden Nullfolgen, [mm](x_n)->0[/mm] und [mm](y_n)->0[/mm] mit
> [mm](y_n)<0:[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n)\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|y_n|}{y_n}=-1[/mm]
>
> Also ist f nicht stetig partiell diffbar
S.o.
>
> da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n) \le[/mm]
> -1
>
> aber [mm]\bruch{df}{\partial x}( \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> , [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n)[/mm] = [mm]\bruch{df}{\partial x}(0,0)[/mm]
> = 0
>
> f ist nicht diffbar.
>
> Darf ich so argumentieren?
Nö.
Zeige: der Grenzwert
[mm] $\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}$
[/mm]
existiert nicht.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:11 Do 15.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
Hi, Danke für die Antwort!
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Zeige f ist nicht differenzierbar!
> > Hallo!
> >
> > Ich zeige [mm]\bruch{ df }{ \partial x}[/mm] ist nicht stetig:
>
>
> Das brint Dir nichts. Dann weißt Du nur : f ist nicht
> stetig diff.-bar.
>
Ich beziehe mich auf diese Aussage:
Ist f stetig partiell differenzierbar, so ist f auch total differenzierbar.
Wenn ich also zeige: f ist nicht stetig partiell differenzierbar, folgt daraus,
dass f auch nicht total differenzierbar ist.
>
> > Mit Quotientenregel und Überprüfung von
> >
> Wolphramalpha
> > gilt:
> >
> > [mm]\bruch{ df }{ \partial x }[/mm] = [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> > - [mm]\bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}[/mm] ( für (x,y)
> > [mm]\not=[/mm] (0,0) )
> >
> > Da: [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] - [mm]\bruch{x^2|y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} \le \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{y}[/mm]
>
>
> Diese Abschätzung ist doch Unfug ! Das siehst Du, wenn Du
> mal y=-1 setzt.
>
Stimmt, wenn ich Zahlen einsetzen, dann stimmt das leider nicht,
kann den Fehler in der Abschätzung aber noch nicht sehen.
1. Abschätzung: Es ist ja a - b < a ( und hier ist a>0 und b>0)
Also scheint die erste Abschätzung noch zu stimmen.
Bei der 2. Abschätzimg müsste es wohl:
[mm] \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{|y|} [/mm] = 1 heissen.
Damit bringt die nachfolgende Rechnung nichts.
>
> >
> > folgt für die beiden Nullfolgen, [mm](x_n)->0[/mm] und [mm](y_n)->0[/mm] mit
> > [mm](y_n)<0:[/mm]
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n)\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|y_n|}{y_n}=-1[/mm]
>
> >
> > Also ist f nicht stetig partiell diffbar
>
>
> S.o.
>
>
>
> >
> > da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n) \le[/mm]
> > -1
> >
> > aber [mm]\bruch{df}{\partial x}( \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > , [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n)[/mm] = [mm]\bruch{df}{\partial x}(0,0)[/mm]
> > = 0
> >
> > f ist nicht diffbar.
> >
> > Darf ich so argumentieren?
>
> Nö.
>
OK!
> Zeige: der Grenzwert
>
>
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> existiert nicht.
>
Nach welchem Satz gilt das? Kann das grad nicht nachvollziehen.
Wo kommt zum Beispiel [mm] xf_x(0,0) [/mm] her?
> FRED
>
Danke nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hi, Danke für die Antwort!
>
> > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zeige f ist nicht differenzierbar!
> > > Hallo!
> > >
> > > Ich zeige [mm]\bruch{ df }{ \partial x}[/mm] ist nicht stetig:
> >
> >
> > Das brint Dir nichts. Dann weißt Du nur : f ist nicht
> > stetig diff.-bar.
> >
>
> Ich beziehe mich auf diese Aussage:
> Ist f stetig partiell differenzierbar, so ist f auch total
> differenzierbar.
> Wenn ich also zeige: f ist nicht stetig partiell
> differenzierbar, folgt daraus,
> dass f auch nicht total differenzierbar ist.
Mein Gott, was für eine Logik ! Das ist doch Quatsch
>
> >
> > > Mit Quotientenregel und Überprüfung von
> > >
> >
> Wolphramalpha
> > > gilt:
> > >
> > > [mm]\bruch{ df }{ \partial x }[/mm] = [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> > > - [mm]\bruch{x^2 |y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}}[/mm] ( für (x,y)
> > > [mm]\not=[/mm] (0,0) )
> > >
> > > Da: [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{x^2|y|}{(x^2+y^2)^\bruch{3}{2}} \le \bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{y}[/mm]
>
> >
> >
> > Diese Abschätzung ist doch Unfug ! Das siehst Du, wenn Du
> > mal y=-1 setzt.
> >
>
> Stimmt, wenn ich Zahlen einsetzen, dann stimmt das leider
> nicht,
> kann den Fehler in der Abschätzung aber noch nicht
> sehen.
> 1. Abschätzung: Es ist ja a - b < a ( und hier ist a>0
> und b>0)
> Also scheint die erste Abschätzung noch zu stimmen.
> Bei der 2. Abschätzimg müsste es wohl:
> [mm]\bruch{|y|}{\wurzel{x^2+y^2}} \le \bruch{|y|}{|y|}[/mm] = 1
> heissen.
> Damit bringt die nachfolgende Rechnung nichts.
>
> >
> > >
> > > folgt für die beiden Nullfolgen, [mm](x_n)->0[/mm] und [mm](y_n)->0[/mm] mit
> > > [mm](y_n)<0:[/mm]
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n)\le \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|y_n|}{y_n}=-1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Also ist f nicht stetig partiell diffbar
> >
> >
> > S.o.
> >
> >
> >
> > >
> > > da [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{df}{\partial x} (x_n,y_n) \le[/mm]
> > > -1
> > >
> > > aber [mm]\bruch{df}{\partial x}( \limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm]
> > > , [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n)[/mm] = [mm]\bruch{df}{\partial x}(0,0)[/mm]
> > > = 0
> > >
> > > f ist nicht diffbar.
> > >
> > > Darf ich so argumentieren?
> >
> > Nö.
> >
>
> OK!
>
> > Zeige: der Grenzwert
> >
> >
> >
> > [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> >
> > existiert nicht.
> >
>
> Nach welchem Satz gilt das? Kann das grad nicht
> nachvollziehen.
Wie bitte ??!!!. Willst Du mich auf den Arm nehmen ? Wie habt Ihr denn Differenzierbarkeit im [mm] \IR^n [/mm] definiert. ?
Stell Dir mal vor, Herr X kommt zu Dir und fragt: "wie zeige ich das streng monotone Wachsen der Folge [mm] (a_n) [/mm] ?"
Du antwortest: " zeige: [mm] $a_{n+1}>a_n$ [/mm] für jedes n"
Daraufhin sagt X: " Nach welchem Satz gilt das? Kann das grad nicht nachvollziehen."
Da kämst Du Dir doch veralbert vor, oder nicht ?
> Wo kommt zum Beispiel [mm]xf_x(0,0)[/mm] her?
Siehe oben. Wenn man Definitionen nicht kennt, wird man in der Mathematik kaum Aufgaben lösen können.
FRED
>
> > FRED
> >
>
> Danke nochmals!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Do 15.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > > Zeige: der Grenzwert
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > existiert nicht.
> > >
> >
> > Nach welchem Satz gilt das? Kann das grad nicht
> > nachvollziehen.
>
>
> Wie bitte ??!!!. Willst Du mich auf den Arm nehmen ? Wie
> habt Ihr denn Differenzierbarkeit im [mm]\IR^n[/mm] definiert. ?
>
Sicherlich nicht.
Ich habe nicht direkt gesehen, dass du da bereits die Werte in die allgemeine Definition [mm] \lim\limits_{\xi\to0}=\frac{f(a+\xi)-f(a)-A\cdot\xi}{\|\xi\|}=0 [/mm] gesteckt hast.
Wenn ich mich nicht irre, dann existiert
für [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] kein Grenzwert, weil [mm] f_y(0,0) [/mm] bereits nicht existiert aufgrund der Betragstriche um y.
Man kennt das ja f(x)=|x| ist in 0 nicht differenzierbar.
Wie sieht es mit der anderen Möglichkeit aus:
> > Ich beziehe mich auf diese Aussage:
> > "Ist f stetig partiell differenzierbar, so ist f auch total differenzierbar."
> > Wenn ich also zeige: f ist nicht stetig partiell differenzierbar, folgt daraus, dass f auch nicht total differenzierbar ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > > Zeige: der Grenzwert
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > existiert nicht.
> > > >
> > >
> > > Nach welchem Satz gilt das? Kann das grad nicht
> > > nachvollziehen.
> >
> >
> > Wie bitte ??!!!. Willst Du mich auf den Arm nehmen ? Wie
> > habt Ihr denn Differenzierbarkeit im [mm]\IR^n[/mm] definiert. ?
> >
> Sicherlich nicht.
> Ich habe nicht direkt gesehen, dass du da bereits die
> Werte in die allgemeine Definition
> [mm]\lim\limits_{\xi\to0}=\frac{f(a+\xi)-f(a)-A\cdot\xi}{\|\xi\|}=0[/mm]
> gesteckt hast.
>
> Wenn ich mich nicht irre, dann existiert
> für [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> kein Grenzwert, weil [mm]f_y(0,0)[/mm] bereits nicht existiert
Unsinn.
Es ist [mm] \bruch{f(0,y)-f(0,0)}{y}=0 [/mm] für jedes y [mm] \ne [/mm] 0. Somit ex. [mm]f_y(0,0)[/mm] und = 0
FRED
> aufgrund der Betragstriche um y.
> Man kennt das ja f(x)=|x| ist in 0 nicht differenzierbar.
>
> Wie sieht es mit der anderen Möglichkeit aus:
> > > Ich beziehe mich auf diese Aussage:
> > > "Ist f stetig partiell differenzierbar, so ist f auch
> total differenzierbar."
> > > Wenn ich also zeige: f ist nicht stetig partiell
> differenzierbar, folgt daraus, dass f auch nicht total
> differenzierbar ist.
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 15.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
> > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > Zeige f ist nicht differenzierbar!
> Zeige: der Grenzwert
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> existiert nicht.
>
> FRED
>
So nun sollte das klappen:
da [mm] f_x(0,0) [/mm] = 0 und [mm] f_y(0,0)=0 [/mm] und f(0,0)=0
gilt
[mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x|y|}{x^2+y^2}
[/mm]
Wähle zwei Folgen [mm] x_n [/mm] = 1/n = [mm] y_n
[/mm]
Dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_n|y_n|}{x_n^2+y_n^2} =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^2}}{\bruch{2}{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \not= [/mm] 0= f(0,0) = f( [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} y_n) [/mm]
Der Grenzwert exisitiert also nicht -> f ist nicht diffbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:53 Fr 16.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]f(x,y)=\begin{cases} \bruch{x|y|}{\wurzel{x^2+y^2}}, & \mbox{für } (x,y)\not= \mbox{ (0,0)} \\ 0 & \mbox{} \mbox{ sonst} \end{cases}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Zeige f ist nicht differenzierbar!
>
> > Zeige: der Grenzwert
> >
>
> > [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
>
> >
> > existiert nicht.
> >
> > FRED
> >
> So nun sollte das klappen:
>
> da [mm]f_x(0,0)[/mm] = 0 und [mm]f_y(0,0)=0[/mm] und f(0,0)=0
>
> gilt
>
> [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)-f(0,0)-xf_x(0,0)-yf_y(0,0)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)}\bruch{f(x,y)}{\wurzel{x^2+y^2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x|y|}{x^2+y^2}[/mm]
>
> Wähle zwei Folgen [mm]x_n[/mm] = 1/n = [mm]y_n[/mm]
> Dann gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n,y_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_n|y_n|}{x_n^2+y_n^2} =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{1}{n^2}}{\bruch{2}{n^2}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \not=[/mm] 0= f(0,0) = f(
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] ,
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} y_n)[/mm]
> Der Grenzwert exisitiert also nicht -> f ist nicht diffbar
Bingo !
FRED
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Fr 16.07.2010 | | Autor: | etoxxl |
Danke Dir!
|
|
|
|
