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Differenzierbarkeit: Frage
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:55 So 17.07.2005
Autor: mathmetzsch

Hallo, nach der Stetigkeit habe ich mal noch eine Frage zur Differenzierbarkeit. Ich möchte zeigen, dass die Funktion
[mm] f(x,y)=\bruch{x^{3}}{\wurzel{x^{2}+y{2}}} [/mm] für [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm] und
f(0,0)=0 differenzierbar ist.

Sicherlich ist hier als einzige die Stelle (0,0) interessant, da f sonst bloß eine Ansammlung von Polynomen ist.

Ich würde es mit dieser Approximation machen:

[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)-f(a)-L(h)}{||h||}. [/mm]

L(h) ist sicherlich 0, da die partiellen Ableitungen  [mm] \partial_{x}(0,0)=\partial_{y}(0,0)=0. [/mm]

Also folgt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(a+h)}{||h||} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\bruch{f(h_{1},h_{1})}{||h_{1},h_{1}||} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\pm\bruch{h_{1}^{2}}{2h_{1}} [/mm]
[mm] =\limes_{h\rightarrow0}\pm\bruch{h_{1}}{2}\to0 [/mm]

Folglich ist f differenzierbar. Das einzige, was mich an dieser Rechnung stört, ist dieses [mm] h_{1}. [/mm] Kann man das so machen?
Grüße


        
Bezug
Differenzierbarkeit: Norm abschätzen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 So 17.07.2005
Autor: Toellner

Hallo,

ich vermute, da ist ein Druckfehler drin:
Du untersuchst wahrscheinlich eine beliebige Richtung h = [mm] (h_{1}, h_{2}) [/mm] und nicht nur eine Annäherung in der Diagonalen [mm] (h_{1}, h_{1}), [/mm] sodass Du auch zwei verschiedene h's berücksichtigen musst.
Ich nehme außerdem an  ||h|| = [mm] \wurzel{h_{1}²+h_{2}²} [/mm]  und dann würde ich Deinen Limes nach oben abschätzen durch

[mm] \limes_{h\rightarrow\ 0} h_{1}³/ (\wurzel{h_{1}²+h_{2}²}||h||) \le \limes_{h\rightarrow\ 0} [/mm] ||h||³/||h||² = 0 ,

da ja  [mm] h_{1} \le [/mm]  ||h|| ist.

Andernfalls müsstest Du nähere Angaben über ||h|| machen.



Bezug
                
Bezug
Differenzierbarkeit: danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:27 So 17.07.2005
Autor: mathmetzsch

Vielen Dank. Genau das wollte ich wissen. Ich hab das mit dem h1 nämlich in einem Buch gesehen, aber da wurde so eine Aussage ´über Differenzierbarkeit wiederlegt. Dafür scheint das dann also zu funktionieren.

Grüße

Bezug
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