Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Sei [mm] f_n(x) [/mm] := |x|+ [mm] \bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}} [/mm] und f(x)= |x| , mit [mm] x\in [/mm] K=[-1,1] .
Ich muss zeigen, dass [mm] f_n [/mm] differenzierbar für alle n ist, aber f selbst nicht.
Haben Sie ein paar Ideen für mich?
* Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank!
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Hallo arraneo, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das Siezen kannst du Dir für andere Umgebungen aufheben, in allen mir bekannten Internetforen darfst Du gern alle duzen, so auch hier.
> Sei [mm]f_n(x)[/mm] := |x|+ [mm]\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}[/mm] und
> f(x)= |x| , mit [mm]x\in[/mm] K=[-1,1] .
>
> Ich muss zeigen, dass [mm]f_n[/mm] differenzierbar für alle n ist,
> aber f selbst nicht.
>
> Haben Sie ein paar Ideen für mich?
Nee, so läuft das hier nicht. Du hast Ideen für uns, und wir schauen dann gern nach, wie die Ideen so sind... Lies mal die Forenregeln.
Dass f(x) nicht differenzierbar ist, ist an der Stelle x=0 leicht zu zeigen. Bilde mal den rechts- und linksseitigen Grenzwert der Ableitung (direkt oder über h-Methode).
Wieso sollte das bei [mm] f_n(x) [/mm] nun anders sein? Auch da ist x=0 die interessante Stelle, die man für beliebiges n mal besehen sollte.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:10 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
oops. Vielen Dank, ich bin ja Newbie hier.
Also mir war schon klar, dass den Betrag von x nicht diffbar an der Stelle 0 ist, aber für [mm] f_n(x) [/mm] können wir nicht über die Stelle 0 von x reden, da wir nicht durch 0 teilen können.
Mir scheint die Funktionenfolge diffbar zu sein, durch den Produktregel und Kettenregel. Auch wenn wir |x| da haben, sollte die Funktion trotzdem differenzierber sein.
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Hallo arraneo,
> oops. Vielen Dank, ich bin ja Newbie hier.
Hey, kein Problem. 
> Also mir war schon klar, dass den Betrag von x nicht
> diffbar an der Stelle 0 ist, aber für [mm]f_n(x)[/mm] können wir
> nicht über die Stelle 0 von x reden, da wir nicht durch 0
> teilen können.
Stimmt. Wie wärs mit einer Grenzwertbetrachtung? Vielleicht gibts da ja eine stetige Ergänzung.
> Mir scheint die Funktionenfolge diffbar zu sein, durch den
> Produktregel und Kettenregel. Auch wenn wir |x| da haben,
> sollte die Funktion trotzdem differenzierber sein.
Wie schon angedeutet, ist f(x)=|x| in x=0 nicht differenzierbar.
Durch die Exponentialfunktion sieht das aber bei [mm] f_n(x) [/mm] anders aus. Betrachte doch mal in geeigneter Weise die Umgebung von x=0.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:52 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Reverend,
> Stimmt. Wie wärs mit einer Grenzwertbetrachtung?
> Vielleicht gibts da ja eine stetige Ergänzung.
Was meinst du damit, also mit einer stetigen Ergänzung?
Ich sollte vielleicht auch mal schreiben, dass ich schon bewiesen habe, dass die Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] gegen f glm. konvergiert.
Der Grenzwert ist daher f(x)= |x| , welche Funktion stetig ist. Ich verstehe aber nicht, wie es mir dabei helfen könnte.
Oder meinst du gerade der Grenzwert der Ableitung? Ich habe es probiert aber ich blockiere mich immer bei [mm] :\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}, [/mm] da ich [mm] f_n(0) [/mm] nicht ersetzen kann.
Grüß,
arraneo
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Hiho,
Schau dir mal deine beiden Probleme an:
> Was meinst du damit, also mit einer stetigen Ergänzung?
> da ich [mm]f_n(0)[/mm] nicht ersetzen kann.
Genau das sollst du tun: Setze die [mm] f_n [/mm] in 0 stetig fort, so dass du eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktion hast, die stetig (und wie du dann noch zeigen musst) auch differenzierbar ist.
Welchen Wert muss [mm] f_n(0) [/mm] dafür haben?
Und um ehrlich zu sein kann ich mir kaum vorstellen, dass die Funktionenfolge mit einer Definitionslücke definiert wurde.
Aber wenn, kannst du das ja fixen 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:41 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hey Gono!!
Aaaalso:
Sei [mm] f_n:[-1,1] \to \IR [/mm] stetig. Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}-|x|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|0|}}}{x}= [/mm] 0 , da [mm] \bruch{1}{n}*\limes_{x\rightarrow 0}e^{-\bruch{n}{x}}= [/mm] 0, für jedes n [mm] \in \IN. [/mm]
Draus folgt, dass [mm] f_n [/mm] ist differenzierbar für jedes n.
Ist das näher zu korrekt ausgelöst ? ^^
Grüße!
arraneo.
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Hallo arraneo,
nein, so geht das auch noch nicht.
> Sei [mm]f_n:[-1,1] \to \IR[/mm] stetig. Dann gilt:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{f_n(x)-f_n(0)}{x-0}= \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{|x|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}-|x|-\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|0|}}}{x}=[/mm] 0
Hier steht doch immer noch der undefinierte Term [mm] \tfrac{n}{|0|} [/mm] im Exponenten.
> da [mm]\bruch{1}{n}*\limes_{x\rightarrow 0}e^{-\bruch{n}{x}}=[/mm] 0, für jedes n [mm]\in \IN.[/mm]
Aha! Damit musst Du anfangen, dann hast Du auch einen Funktionswert für [mm] f_n(0). [/mm] Du musst also die Definitionslücke beheben, indem Du für x=0 den Funktionswert [mm] f_n(0)=0 [/mm] definierst.
Es geht aber sogar ohne das.
Untersuche [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{f_n(x)-f_n(-x)}{x-(-x)}
[/mm]
Sicherheitshalber solltest Du diesen Grenzwert für [mm] x\to [/mm] 0^+ (also Annäherung "von rechts") und für [mm] x\to [/mm] 0^- ("von links") getrennt betrachten...
> Draus folgt, dass [mm]f_n[/mm] ist differenzierbar für jedes n.
Wieso folgt das? Noch gehen Zähler und Nenner beide gegen Null.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hey Reverend,
>
> > Stimmt. Wie wärs mit einer Grenzwertbetrachtung?
> > Vielleicht gibts da ja eine stetige Ergänzung.
>
> Was meinst du damit, also mit einer stetigen Ergänzung?
>
> Ich sollte vielleicht auch mal schreiben, dass ich schon
> bewiesen habe, dass die Funktionenfolge [mm]f_n[/mm] gegen f glm.
> konvergiert.
wie hast Du das gemacht? Denn auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] kannst Du das nicht
gezeigt haben, weil dafür [mm] $f_n(0)\,$ [/mm] zu definieren wäre!
Vermutlich hast Du die obige Behauptung auf $[-1,1] [mm] \setminus \{0\}$
[/mm]
gezeigt...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht bin ich heute total verblöded, aber wenn man setzt [mm] f_n(0)=0,
[/mm]
so gilt
[mm] \bruch{f_n(x)-f_n(0)}{x} \to [/mm] 1 für x [mm] \to [/mm] 0+
und
[mm] \bruch{f_n(x)-f_n(0)}{x} \to [/mm] -1 für x [mm] \to [/mm] 0-
Also ist [mm] f_n [/mm] in x=0 nicht differenzierbar.
Die Methode von Reverend
$ [mm] \lim_{x\to 0}\bruch{g(x)-g(-x)}{x-(-x)} [/mm] $
zieht nicht !
Ist g in x=0 differenzierbar, so folgt zwar, dass obiger Limes = g'(0) ist, aber eben nur, wenn man g als differenzierbar in x=0 voraussetzt.
Gegenbeispiel: g(x)=|x|.
Hier ist für x [mm] \ne [/mm] 0:
[mm] \bruch{g(x)-g(-x)}{x-(-x)} [/mm] = [mm] \bruch{0}{2x}=0.
[/mm]
Hab ich was übersehen ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi Fred!,
Nein hast du nichts übersehen, daher vielen Dank!
Ihr seid alle echt toll! Jetzt habe ich das Problem viel besser verstanden als gestern Nacht.
Grüße,
arraneo.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]f_n(x)[/mm] := |x|+ [mm]\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}[/mm] und
> f(x)= |x| , mit [mm]x\in[/mm] K=[-1,1] .
die Funktion [mm] $f_n\,$ [/mm] ist an der Stelle [mm] $x=0\,$ [/mm] nicht definiert! (Was soll denn
[mm] $n/0\,$ [/mm] sein?)
Gruß,
Marcel
> Ich muss zeigen, dass [mm]f_n[/mm] differenzierbar für alle n ist,
> aber f selbst nicht.
>
> Haben Sie ein paar Ideen für mich?
>
> * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Sei [mm]f_n(x)[/mm] := |x|+ [mm]\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}[/mm] und
> > f(x)= |x| , mit [mm]x\in[/mm] K=[-1,1] .
>
> die Funktion [mm]f_n\,[/mm] ist an der Stelle [mm]x=0\,[/mm] nicht definiert!
> (Was soll denn
> [mm]n/0\,[/mm] sein?)
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
im Laufe der Diskussion hat man sich darauf geeinigt, dass man [mm] f_n [/mm] durch [mm] f_n(0):=0 [/mm] stetig fortsetzen muß.
Aber das hilft nichts, denn [mm] f_n [/mm] ist dann in x=0 nicht differenzierbar (wenn ich mich nicht vertan habe)
Gruß FRED
>
> > Ich muss zeigen, dass [mm]f_n[/mm] differenzierbar für alle n ist,
> > aber f selbst nicht.
> >
> > Haben Sie ein paar Ideen für mich?
> >
> > * Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> > Vielen Dank!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > Sei [mm]f_n(x)[/mm] := |x|+ [mm]\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}[/mm] und
> > > f(x)= |x| , mit [mm]x\in[/mm] K=[-1,1] .
> >
> > die Funktion [mm]f_n\,[/mm] ist an der Stelle [mm]x=0\,[/mm] nicht definiert!
> > (Was soll denn
> > [mm]n/0\,[/mm] sein?)
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Hallo Marcel,
>
> im Laufe der Diskussion hat man sich darauf geeinigt, dass
> man [mm]f_n[/mm] durch [mm]f_n(0):=0[/mm] stetig fortsetzen muß.
Danke. Das habe ich nachträglich gelesen. Ich frage mich trotzdem,
wie dann so manche Schlussfolgerung gezogen wurde. Denn der
Fragesteller hat ja selbst gesagt, dass [mm] $f_n(0)\,$ [/mm] (erstmal) nicht
definiert wurde und so, wie [mm] $f_n(x)\,$ [/mm] da steht, nicht definiert sein
kann.
> Aber das hilft nichts, denn [mm]f_n[/mm] ist dann in x=0 nicht
> differenzierbar (wenn ich mich nicht vertan habe)
Das müsste ich mir in Ruhe nochmal durchlesen, aber bei 'nem kurzen
drüberlesen denke ich auch, dass Du da recht hast. Ich (oder Du, oder
wer immer auch mag) kann sich ja mal ein paar (Graphen der) [mm] $f_n$ [/mm]
plotten (lassen)...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
Hi Marcel,
Da hast du natürlich Recht, habe aber vergessen zu sagen dass es gilt für alle n> 0 [mm] \in \IN. [/mm]
Dann sei [mm] \varepsilon [/mm] >0 beliebig.
[mm] |f_n-f|= ||x|+\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}-|x|}|= |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}| \to [/mm] 0, wenn n [mm] \to \infty [/mm] , weil:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0 [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\bruch{n}{|x|}}=e^{\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{n}{|x|}}= [/mm] 0. , da die Funktion [mm] e^{x} [/mm] stetig ist.
Draus folgt, dass es ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, wofür es gilt:
[mm] |f_n [/mm] -f|< [mm] \varepsilon [/mm] , [mm] \forall n\ge [/mm] N
[mm] \Rightarrow f_n \to [/mm] f gleichmäßig.
Ist das nicht richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi Marcel,
> Da hast du natürlich Recht, habe aber vergessen zu sagen
> dass es gilt für alle n> 0 [mm]\in \IN.[/mm]
>
> Dann sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 beliebig.
> [mm]|f_n-f|= ||x|+\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}-|x|}|= |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}| \to[/mm]
> 0, wenn n [mm]\to \infty[/mm] , weil:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\bruch{n}{|x|}}=e^{\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{n}{|x|}}=[/mm]
> 0. , da die Funktion [mm]e^{x}[/mm] stetig ist.
>
> Draus folgt, dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert, wofür es
> gilt:
>
> [mm]|f_n[/mm] -f|< [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\forall n\ge[/mm] N
>
> [mm]\Rightarrow f_n \to[/mm] f gleichmäßig.
>
> Ist das nicht richtig?
Du hast nur die punktweise Konvergenz gezeigt, aber nicht die gleichmäßige !
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Do 01.11.2012 | | Autor: | arraneo |
aber warum denn nicht? Denn N ist vom x unabhängig, daher konvergiert die Funktionenfolge glm. und nicht nur punktweise.
Oder?
grüß.
arraneo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> aber warum denn nicht? Denn N ist vom x unabhängig, daher
> konvergiert die Funktionenfolge glm. und nicht nur
> punktweise.
nein, Deine Wahl von [mm] $N\,$ [/mm] zeigt keine [mm] $x\,$-Unabhängigkeit:
[/mm]
[mm] $$\left|\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}\right|\to [/mm] 0 [mm] \;\;\;\text{ bei }n \to \infty$$
[/mm]
hattest Du doch benutzt. "Wie" das gegen [mm] $0\,$ [/mm] geht, hängt von [mm] $x\,$
[/mm]
ab. (Auch, wenn Du danach dann "vortäuschen" willst, dass das [mm] $N\,$
[/mm]
nicht von [mm] $x\,$ [/mm] abhänge...)
Vielleicht hilft's Dir aber was, dass stetige Funktionen auf kompakten
Mengen... (P.S.: Vermutlich verbunden mit einer Zusatzüberlegung!
Ich denke, hier kann man auch mal die [mm] $f_n\,$ [/mm] auf Extremstellen
untersuchen... um dann [mm] $|f_n(x)|$ [/mm] auf [mm] $[-1,1]\,$ [/mm] abschätzen zu können!)
Edit: Das Durchgestrichene geht einfacher - oder sagen wir besser
"richtiger": $0 < [mm] e^{-n/|x|} [/mm] < [mm] 1\,$ [/mm] sollte man ausnutzen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Do 01.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi Marcel,
> Da hast du natürlich Recht, habe aber vergessen zu sagen
> dass es gilt für alle n> 0 [mm]\in \IN.[/mm]
also $n > 0 [mm] \in \IN$ [/mm] bedeutet, dass [mm] $n\,$ [/mm] eine Zahl ist, die größer als
die $0 [mm] \in \IN$ [/mm] ist. Du meinst eher $n > [mm] 0\,, [/mm] n [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
> Dann sei [mm]\varepsilon[/mm] >0 beliebig.
> [mm]|f_n-f|= ||x|+\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}-|x|}|= |\bruch{1}{n}e^{-\bruch{n}{|x|}}| \to[/mm]
> 0, wenn n [mm]\to \infty[/mm] , weil:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n}=0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e^{-\bruch{n}{|x|}}=e^{\limes_{n\rightarrow\infty}-\bruch{n}{|x|}}=[/mm]
> 0. , da die Funktion [mm]e^{x}[/mm] stetig ist.
>
> Draus folgt, dass es ein N [mm]\in \IN[/mm] existiert, wofür es
> gilt:
>
> [mm]|f_n[/mm] -f|< [mm]\varepsilon[/mm] , [mm]\forall n\ge[/mm] N
>
> [mm]\Rightarrow f_n \to[/mm] f gleichmäßig.
>
> Ist das nicht richtig?
Siehe Freds Antwort. Denn bei Dir ist die Folgerung [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm.
falsch, weil Du zwar anfangs wunderbar [mm] $|f_n-f|\,$ [/mm] schreibst, aber
nicht [mm] $|f_n-f|_\infty \to [/mm] 0$ zeigst, sondern nur, dass
[mm] $$|f_n(x)-f(x)| \to 0\,.$$
[/mm]
Dein $N [mm] \in \IN$ [/mm] ist nicht ein [mm] $N=N_\varepsilon\,,$ [/mm] welches von [mm] $x\,$ [/mm]
unabhängig ist, sondern es ist ein [mm] $N=N_{\varepsilon,x}\,.$
[/mm]
Schau' Dir bitte unbedingt nochmal die Definition der glm. Konvergenz an,
und mach' Dir klar, was der Unterschied zur pktw. Kgz. ist!
P.S. Nach wie vor: Auch hier wäre der Fall [mm] $f_n(x)\,$ [/mm] mit [mm] $x=0\,$ [/mm] ja gar nicht
erfasst, weil in der Definition von [mm] $f_n(x)\,$ [/mm] ein Term [mm] $n/x\,$ [/mm] auftaucht.
Aber wie Fred nochmal erwähnte: Wir gehen immer davon aus, dass
[mm] $f_n(0):=0\,$ [/mm] zu behandeln ist. Dann müßte man bei der pktw. Kgz.
"eventuell" auch eine Fallunterscheidung machen. (Jedenfalls wäre es
strukturierter, wenn man sie machen würde!)
Gruß,
Marcel
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