Differenzierbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:59 Mi 09.01.2013 | | Autor: | tamilboy |
| Aufgabe | Aufgabe 1
Bestimmen Sie jeweils alle Punkte aus R, in denen f differenzierbar ist, und bestimmen
Sie ggf. die Ableitung.
a) f(x) = sin(x)*|x|
b) f(x) = [mm] x^{x} [/mm] (x > 0)
c) f(x) [mm] =\bruch{e^{x^{2}}-1}{1+|x|} [/mm] |
Wie die Aufgabe bereits sagt, soll ich ja schauen ob diese Funktionen differenzierbar sind oder nicht. Ich würde jetzt daher schauen, ob [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] existiert. Aber wie?
Würde dann ja heißen [mm] \bruch{(sin(x)*|x|)-(sin(x_{0}*|x_{0}|)}{x-x_{0}}
[/mm]
Wie kann ich hier bei mit Sicherheit sagen, das der Grenzwert existiert und gleich der Ableitung in [mm] x_{0} [/mm] ist?
Ich habe einige Vorlesungen verpasst und alleine das Script scheint mir da nicht weiter zu helfen. Vielen Dank für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:26 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Aufgabe 1
> Bestimmen Sie jeweils alle Punkte aus R, in denen f
> differenzierbar ist, und bestimmen
> Sie ggf. die Ableitung.
>
> a) f(x) = sin(x)*|x|
> Wie die Aufgabe bereits sagt, soll ich ja schauen ob
> diese Funktionen differenzierbar sind oder nicht. Ich
> würde jetzt daher schauen, ob [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> existiert. Aber wie?
>
> Würde dann ja heißen
> [mm]\bruch{(sin(x)*|x|)-(sin(x_{0}*|x_{0}|)}{x-x_{0}}[/mm]
> Wie kann ich hier bei mit Sicherheit sagen, das der
> Grenzwert existiert und gleich der Ableitung in [mm]x_{0}[/mm] ist?
betrachte zunächst [mm] $g\colon (0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x):=|x|*\sin(x)=x*\sin(x)\,.$ [/mm] (D.h. [mm] $g\,=f_{|(0,\infty)}\,.$)
[/mm]
Was weiißt Du über das Produkt diff'barer Funktionen? Damit ist dann
schonmal klar, dass [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] ist.
Analog definierst Du [mm] $h:=f_{|(-\infty,0)}\,,$ [/mm] also [mm] $h(x):=|x|*\sin(x)=-x*\sin(x)\,,$ [/mm] und argumentierst analog.
Damit ist dann klar: [mm] $f_{|\IR \setminus \{0\}}$ [/mm] ist difff'bar. Es bleibt also,
[mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] zu untersuchen. Dazu kannst Du halt den
Differenzenquotienten mal hinschreiben und zeigen, dass für jedes $x [mm] \not=x_0:=0$ [/mm] hier gilt
[mm] $$\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right| \le |x|\,,$$
[/mm]
(benutze dabei, dass [mm] $|\sin(x)| \le [/mm] |x|$ für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt (Beweis?))
und dann denke drüber nach, was somit für [mm] $\lim_{x \to x_0}\left|\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|$ [/mm] folgt und warum das gleiche für
[mm] $$\lim_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$
[/mm]
dann gilt. (Natürlich insbesondere [mm] $x_0=0=f(x_0)=f(0)$ [/mm] hier benutzen!)
Alternativ kann man hier auch so vorgehen: Wir wissen, dass mit
[mm] $u(x):=x*\sin(x)\,,$ [/mm] wobei $u [mm] \colon \IR \to \IR$ [/mm] sei, dann [mm] $u\,$ [/mm] differenzierbar ist in [mm] $x_0=0\,.$ [/mm] (Warum?)
Du kannst gemäß der Produktregel [mm] $u\,'(0)$ [/mm] berechnen. Daraus folgt, dass der
rechtsseitige Differentialquotient von [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] existiert und
dass dieser dann [mm] $=u\,'(0)$ [/mm] ist. (Warum?)
Analog argumentierst Du, dass der linksseitige Differentialquotient von
[mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nichts anderes als [mm] $v\,'(0)$ [/mm] sein muss, wobei [mm] $v\colon \IR \to \IR$ [/mm]
definiert sei durch [mm] $v(x):=\;\red{-}\;x*\sin(x)\,.$
[/mm]
Die Frage ist nun: Ist Dir klar, was dadurch dann gezeigt ist? (Falls nicht:
![[]](/images/popup.gif) Satz 10.13 (klick!)!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 Mi 09.01.2013 | | Autor: | tamilboy |
Für den Fall [mm] x_{0}=0 [/mm] hab ich einfach im Diif'quotienten eingesetzt:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(0+h)*|h|-sin(0)*|0|}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)*|h|}{h}\rightarrow [/mm] 0
da ja h gegen 0 strebt. Stimmt das? Würde das aussreichen? Ich verstehe nicht warum ich [mm] |sin(x)|\le|x| [/mm] benutzen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für den Fall [mm]x_{0}=0[/mm] hab ich einfach im Diif'quotienten
> eingesetzt:
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(0+h)*|h|-sin(0)*|0|}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{sin(h)*|h|}{h}[/mm]
jetzt kannst Du noch
[mm] $$=\lim_{h \to 0} (\text{sgn}(h)*\sin(h))=\ldots$$
[/mm]
schreiben (bei [mm] $\lim_{h \to 0}$ [/mm] meint man [mm] $\lim_{0 \not=h \to 0}$)!
[/mm]
(Es ist [mm] $\text{sgn}$ [/mm] die Vorzeichenfunktion (klick!))!
> [mm]\rightarrow 0 [/mm]
Und man schreibt nicht (kurz angedeutet) [mm] $\lim \to \text{irgendwas}\,,$ [/mm] weil ein Grenzwert
nicht gegen was strebt; sondern, wenn er existiert, dann ist er
[mm] $=\text{irgendwas}\,,$ [/mm] also schreibst Du (kurz angedeutet) [mm] $\lim \red{\;=\;} \text{irgendwas}\,.$
[/mm]
Du schreibst nun also weiter
[mm] $$\lim_{h \to 0} (\text{sgn}(h)*\sin(h))\red{\;=\;}0$$
[/mm]
(Auch, wenn natürlich $0 [mm] \to [/mm] 0$ stimmt und Du oben daher auch nichts
wirklich falsches geschrieben hast!)
> da ja h gegen 0 strebt. Stimmt das? Würde das
> aussreichen? Ich verstehe nicht warum ich [mm]|sin(x)|\le|x|[/mm]
> benutzen soll.
Wie begründest Du [mm] $\lim_{h \to 0} (\text{sgn}(h)*\sin(h))\red{\;=\;}0$ [/mm] denn? (Man kann es durchaus auch
einfach mit der Stetigkeit des Sinus an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] machen, benutzt
dabei aber auch die Beschränktheit der Signumfunktion - oder man
begründet, dass $x [mm] \mapsto \text{sgn}(x)*\sin(x)$ [/mm] stetig an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] ist.)
Gruß,
Marcel
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