Differenzierbarkeit Funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion g:R->R sei definiert durch
[mm] g(x)=\begin{cases}
x^2*cos(\frac{1} {x}), & \text{wenn }x\ne0\\
0, & \text{wenn }x=0
\end{cases}
[/mm]
Zeigen sie ,dass g in jedem Punkt x [mm] \in [/mm] R differenzierbar ist und bestimmen sie die Ableitung. |
Hallo ich hänge total an der Aufgabe mir ist klar ,dass die Ableitung [mm] 2x*cos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x}) [/mm] ist.
Und die Formel um festzustellen ob eine Funktion differenzierbar ist ist mir auch bekannt [mm] f^'(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] aber ich komm hier nicht weiter.
Den Nenner hab ich schon wegkürzen können dann komme ich auf [mm] x*cos(\frac{1}{x})-x_0*cos(\frac{1}{x_0}) [/mm] aber ich weis nicht wie ich hier weiterkomme.
Brauche dringend Hilfe =D
Mfg
moffeltoff
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion g:R->R sei definiert durch
>
> [mm]g(x)=\begin{cases}
x^2*cos(\frac{1} {x}), & \text{wenn }x\ne0\\
0, & \text{wenn }x=0
\end{cases}[/mm]
>
> Zeigen sie ,dass g in jedem Punkt x [mm]\in[/mm] R differenzierbar
> ist und bestimmen sie die Ableitung.
> Hallo ich hänge total an der Aufgabe mir ist klar ,dass
> die Ableitung [mm]2x*cos(\frac{1}{x})+sin(\frac{1}{x})[/mm] ist.
für x [mm] \ne [/mm] 0 !!
> Und die Formel um festzustellen ob eine Funktion
> differenzierbar ist ist mir auch bekannt
> [mm]f^'(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}[/mm] aber ich komm hier nicht
> weiter.
> Den Nenner hab ich schon wegkürzen können dann komme ich
> auf [mm]x*cos(\frac{1}{x})-x_0*cos(\frac{1}{x_0})[/mm] aber ich weis
> nicht wie ich hier weiterkomme.
Für x [mm] \ne [/mm] 0 kannst Du doch verwenden, dass Produkte , Quotienten und Verkettungen differenzierbarer Funktionen differenzierbar sind.
Für x=0:
Betrachte den Quotienten [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0
FRED
>
> Brauche dringend Hilfe =D
>
> Mfg
>
> moffeltoff
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Also ich darf die Funkion einfach gegen den Grenzwert laufen lassen 0 laufen lassen?
Ich dachte ich müsste da eben f^'(x) durch Umformung rauskriegen.
Aber gut wenn das auch so geht dann ist [mm] \lim_{x \to\ 0} x^2*cos(\frac{1}{x})=0 [/mm]
Damit würden ja dann beide Grenzwerte Übereinstimmen und die Funktion müsste differenzierbar sein.
Aber könnte mir jemand nochmal sagen warum ich einfach so davon ausgehen darf ,dass polynom und Kreisfunktionen diffbar sind?
Mfg
moffeltoff
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Hallo moffeltoff,
> Also ich darf die Funkion einfach gegen den Grenzwert
> laufen lassen 0 laufen lassen?
> Ich dachte ich müsste da eben f^'(x) durch Umformung
> rauskriegen.
>
> Aber gut wenn das auch so geht dann ist [mm]\lim_{x \to\ 0} x^2*cos(\frac{1}{x})=0[/mm]
Jo, stetig ist sie auch, aber du willst doch
[mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] berechnen
Das ist doch wohl etwas anderes ...
> Damit würden ja dann beide Grenzwerte Übereinstimmen und
> die Funktion müsste differenzierbar sein.
Welche beiden?
Links- und rechtsseitiger GW des Differenzenquotienten?
Jo, aber stelle mal den Differenzenquotienten richtig auf und schaue dir seinen Betrag an ...
>
> Aber könnte mir jemand nochmal sagen warum ich einfach so
> davon ausgehen darf ,dass polynom
Ihr habt doch sicher in der VL gezeigt, dass konstante Funktionen stetig sind und dass [mm]g(x)=x[/mm] stetig ist. Weiter, dass Summen und Produkte stetiger Funktionen stetig sind.
Damit sind alle Polynome stetig
> und Kreisfunktionen
> diffbar sind?
?? Was meinst du mit Kreisfunktionen ??
>
> Mfg
>
> moffeltoff
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo moffeltoff,
>
>
> > Also ich darf die Funkion einfach gegen den Grenzwert
> > laufen lassen 0 laufen lassen?
> > Ich dachte ich müsste da eben f^'(x) durch Umformung
> > rauskriegen.
> >
> > Aber gut wenn das auch so geht dann ist [mm]\lim_{x \to\ 0} x^2*cos(\frac{1}{x})=0[/mm]
>
> Jo, stetig ist sie auch, aber du willst doch
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm] berechnen
>
> Das ist doch wohl etwas anderes ...
>
> > Damit würden ja dann beide Grenzwerte Übereinstimmen und
> > die Funktion müsste differenzierbar sein.
>
> Welche beiden?
>
> Links- und rechtsseitiger GW des Differenzenquotienten?
>
> Jo, aber stelle mal den Differenzenquotienten richtig auf
> und schaue dir seinen Betrag an ...
>
> >
> > Aber könnte mir jemand nochmal sagen warum ich einfach so
> > davon ausgehen darf ,dass polynom
>
> Ihr habt doch sicher in der VL gezeigt, dass konstante
> Funktionen stetig sind und dass [mm]g(x)=x[/mm] stetig ist. Weiter,
> dass Summen und Produkte stetiger Funktionen stetig sind.
>
> Damit sind alle Polynome stetig
>
> > und Kreisfunktionen
> > diffbar sind?
>
> ?? Was meinst du mit Kreisfunktionen ??
Er meint wahrscheinlich Sinus, Cosinus, ...
Aber in der VL wurde sicher gezeigt, dass dies Funktionen stetig , differenzierbar, etc .. sind
FRED
>
> >
> > Mfg
> >
> > moffeltoff
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Ok ich steh wohl grad ein bisschen auf dem Schlauch.
$ [mm] \lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} $=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2*cos(\frac{1}{x})-0^2*cos(\frac{1}{0})}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2*cos(\frac{1}{x})}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x*cos(\frac{1}{x})=0 [/mm] oder bin ich da total auf dem Holzweg?
Ich hab also einen Grenzwert und damit ist dann die Funktion für x=0 diffbar und da für [mm] x\ne0 [/mm] eine Verkettung differenzierbarer Funktionen vorliegt ist g(x) auf ganz R differenzierbar.
Stimmt das so?
Mfg
moffeltoff
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Hallo nochmal,
> Ok ich steh wohl grad ein bisschen auf dem Schlauch.
>
> [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm][mm] =\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2*cos(\frac{1}{x})-0^2*cos(\frac{1}{0})}{x-0}[/mm]
Au weia, du musst dich mal an die Def. der Funktion halten, was soll denn [mm]\frac{1}{0}[/mm] sein??
Es ist in der Aufgabenstellung definiert [mm]f(0)=0[/mm]
Also steht da [mm]\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)-0}{x-0}[/mm]
> [mm]=\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^2*cos(\frac{1}{x})}{x}=\lim\limits_{x\to 0}x*cos(\frac{1}{x})=0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> oder bin ich da total auf dem Holzweg?
Nun stimmt's
>
> Ich hab also einen Grenzwert und damit ist dann die
> Funktion für x=0 diffbar und da für [mm]x\ne0[/mm] eine Verkettung
> differenzierbarer Funktionen vorliegt ist g(x) auf ganz R
> differenzierbar.
> Stimmt das so?
Ja, entscheidend ist aber doch die Begründung, warum der obie GW tatsächlich 0 ist
Untersuche bzw. begründe genau, was hier mit [mm]\left| \ x\cdot{}\cos\left(\frac{1}{x}\right) \ \right|[/mm] für [mm]x\to 0[/mm] passiert.
Darauf kommt es ja an ...
>
> Mfg
>
> moffeltoff
Gruß
schachuzipus
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Also der GW müsste 0 sein ,da [mm] -1\leq [/mm] cosx [mm] \leq [/mm] 1 und wenn ich diesen Wert mit 0 multipliziere kommt in jedem Fall 0 raus.
Korrekt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:00 So 30.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, dein argument ist r. aber das solltest du auch richtig aufschreiben, wegen [mm] |cosx|\le1 [/mm] gilt [mm] |x*cosx|\le [/mm] x und limx=0
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 So 30.01.2011 | | Autor: | moffeltoff |
Alles klar vielen Dank für die Hilfe an alle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 So 30.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> ja, dein argument ist r. aber das solltest du auch richtig
> aufschreiben, wegen [mm]|cosx|\le1[/mm] gilt [mm]|x*cosx|\le[/mm] x und
> limx=0
> Gruss leduart
>
Du meinst sicher
[mm]|x*cosx|\le[/mm] |x|
FRED
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