Differenzierbarkeit/Limes/Kons < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A) sei n [mm] \in \IN [/mm] und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch [mm] f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}
[/mm]
wie oft ist f differenzierbar?
B)
Zeige dass [mm] \limes_{h\rightarrow\infty} \bruch{f(x_{0}+h) - f(x_{0}-h)}{2h} [/mm] existiert und mit [mm] f'(x_{0}) [/mm] übereinstimmt. Kann hier auf die Differenzierbarkeit von f in [mm] x_{0} [/mm] verzichtet werden? (d.h. folgt aus der Existenz des grenzwertes die Differenzierbarkeit von f in [mm] x_{0}?) [/mm] |
huhu,
zu A) hab ich folgende Idee:
Meiner Meinung nach ist die funktion beliebig oft differenzierbar, da nach n+1 mal differenzieren ja da ne Null steht und man die Null beliebig oft differenzieren kann.
zu B) leider keine ahnung wie ich anfangen soll. ich weiss wie ich die formel anwende wenn ich eine konkrete Funktion vorgegeben habe ( Nein Teil A) gehört nicht wirklich hierzu, ist ne andre Aufgabe),doch hier hat man ja allgemein nur die formel... ich denke dass h = x - [mm] x_{0} [/mm] ist aber das einzusetzten hilft auch nicht, egal wie ichs drehe ich krieg im Nenner 0 raus was nich sein darf...
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> A) sei n [mm]\in \IN[/mm] und f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x \ge 0 \\
-x^{n}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
> wie oft ist f differenzierbar?
>
> zu A) hab ich folgende Idee:
> Meiner Meinung nach ist die funktion beliebig oft
> differenzierbar, da nach n+1 mal differenzieren ja da ne
> Null steht und man die Null beliebig oft differenzieren
> kann.
Hallo,
es gibt eine wichtige Voraussetzung für Differenzierbarkeit. Welche?
Untersuche, ob diese wirklich gegeben ist.
LG Angela
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hmm naja eine Vorraussetzung wöre dass die Funktion stetig ist oder?
bin davon ausgegangen, aber wäre es nicht so müsste ich zeigen, dass der linksseitige Grenzwert = dem rechtsseitigem Grenzwert ist für x gegen 0, was denke ich ohne groß nachzurechnen wirklich so ist.
oder irre ich mich?
Das gleiche prinzip mit dem Linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert kann ich ja dann auch zum nachweis der diffbarkeit machen in etwa:
[mm] \limes_{x\rightarrowx_{0}} \bruch{f(-x)-f(-x_{0})}{x-x_{0}} [/mm] = 0 genauso auch wenn man von rechts kommt oder?
daher denke ich schon dass die funktion diffbar ist.
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> hmm naja eine Vorraussetzung wöre dass die Funktion stetig
> ist oder?
> bin davon ausgegangen, aber wäre es nicht so müsste ich
> zeigen, dass der linksseitige Grenzwert = dem
> rechtsseitigem Grenzwert ist für x gegen 0, was denke ich
> ohne groß nachzurechnen wirklich so ist.
> oder irre ich mich?
Hallo,
ja.
Prüfe das doch z.B. mal für n=7.
Gruß v. Angela
>
> Das gleiche prinzip mit dem Linksseitigen und
> rechtsseitigen Grenzwert kann ich ja dann auch zum nachweis
> der diffbarkeit machen in etwa:
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrowx_{0}} \bruch{f(-x)-f(-x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> = 0 genauso auch wenn man von rechts kommt oder?
> daher denke ich schon dass die funktion diffbar ist.
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aber wieso? ist diese Gleichung hier etwa nich richtig?
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} -x^{7} [/mm] = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} x^{7}
[/mm]
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> aber wieso? ist diese Gleichung hier etwa nich richtig?
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} -x^{7}[/mm] = 0 = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} x^{7}[/mm]
Hallo,
doch.
Aber Du sagtest ja, daß die Funktion beliebig oft diffbar ist, und da hab' ich so meine Zweifel.
Differenziere mal 'nen bißchen!
LG Angela
>
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in etwa so?:
n=7:
f(x) = [mm] x^{7}
[/mm]
f'(x) = 7 [mm] \* x^{6}
[/mm]
f''(x) = [mm] 7\* [/mm] 6 [mm] \* x^{5}
[/mm]
.
.
.
f'''''(x) = 7 [mm] \* [/mm] 6 [mm] \* [/mm] 5 [mm] \* [/mm] 4 [mm] \* [/mm] 3 [mm] \* x^{2}
[/mm]
f''''''(x)= 5040 [mm] \* [/mm] x
f'''''''(x)= 5040
f'''''''''(x) = 0
und 0 kann man doch beliebig oft diff. oder?
für [mm] -x^{7} [/mm] läufts bis auf den Koeffizienten doch ähnlich.
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> in etwa so?:
>
> n=7:
> f(x) = [mm]x^{7}[/mm]
> f'(x) = 7 [mm]\* x^{6}[/mm]
> f''(x) = [mm]7\*[/mm] 6 [mm]\* x^{5}[/mm]
> .
> .
> .
> f'''''(x) = 7 [mm]\*[/mm] 6 [mm]\*[/mm] 5 [mm]\*[/mm] 4 [mm]\*[/mm] 3 [mm]\* x^{2}[/mm]
>
> f''''''(x)= 5040 [mm]\*[/mm] x
>
> f'''''''(x)= 5040
>
> f'''''''''(x) = 0
>
> und 0 kann man doch beliebig oft diff. oder?
> für [mm]-x^{7}[/mm] läufts bis auf den Koeffizienten doch
> ähnlich.
Hallo,
ja.
Und Du mußt doch nun bei jeder Ableitung gucken, ob sie stetig ist an der Nahtstelle der beiden Funkionsäste, also bei x=0.
Sonst kannst Du nicht die nächste Ableitung bilden.
LG Angela
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ich verstehe nicht warum sie dann nicht mehr stetig sein sollte nach der und der ableitung . z.b.:
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] -(-5040 [mm] \*x) [/mm] = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} 5040\*x
[/mm]
oder
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] 0 = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\0} [/mm] 0
usw. wo wird da die stetigkeit unterbrochen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:10 Mo 09.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast eins zu früh aufgehört!
du kannst aber auch mal mit n=1 anfangen, wie sieht das bei x=0 aus?
Gruss leduart
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k dann der spaß mit n = 1...
f(x) =x , f(-x) = -x
1. ableitung
f'(x)=0 f'(-x)=0
f''(x)=0 f''(-x)=0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] -x = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x
bei der ableitung doch dasselbe
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] -x = 0 = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x
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Hallo,
> k dann der spaß mit n = 1...
>
> f(x) =x , f(-x) = -x
Hää?
Wieso [mm]f(-x)[/mm] ???
>
> 1. ableitung
>
> f'(x)=0 f'(-x)=0
Nein, [mm]f'(x)=1[/mm] für [mm]x>0[/mm] und [mm]f'(x)=-1[/mm] für [mm]x<0[/mm]
An der Nahtstelle [mm]x=0[/mm] musst du über den Differenzenquotienten gehen und den links- und rechtsseitigen Limes desselben untersuchen:
Aber das kann man dir ja 1000 Mal sagen ...
1) rechtsseitig: [mm]\lim\limits_{x\to 0, x>0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0, x>0}\frac{x}{x}=\lim\limits_{x\to 0, x>0}1=1[/mm]
2) linksseitig: [mm]\lim\limits_{x\to 0, x<0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to 0, x<0}\frac{-x}{x}=\lim\limits_{x\to 0, x<0}-1=-1[/mm]
Und die sind offensichtlich nicht gleich, daher ist dieses f nicht in 0 diffbar
> f''(x)=0 f''(-x)=0
>
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] -x = 0 = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm]
> x
>
> bei der ableitung doch dasselbe
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] -x = 0 = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm]
> x
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:38 Di 10.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> A) sei n [mm]\in \IN[/mm] und f: [mm]\IR \to \IR[/mm] definiert durch
> [mm]f(x)=\begin{cases} x^{n}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ -x^{n}, & \mbox{für } x < 0 \end{cases}[/mm]
>
> wie oft ist f differenzierbar?
>
>
> B)
> Zeige dass [mm]\limes_{h\rightarrow\red{\infty}} \bruch{f(x_{0}+h) - f(x_{0}-h)}{2h}[/mm]
da steht sicher [mm] $\lim_{h \to \red{0}}$!!
[/mm]
> existiert und mit [mm]f'(x_{0})[/mm] übereinstimmt. Kann hier auf
> die Differenzierbarkeit von f in [mm]x_{0}[/mm] verzichtet werden?
> (d.h. folgt aus der Existenz des grenzwertes die
> Differenzierbarkeit von f in [mm]x_{0}?)[/mm]
erstens: Wenn man die Existenz von [mm] $f'(x_0)$ [/mm] hat, dann folgt die behauptete Gleichheit leicht aus
[mm] $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\frac{1}{2}\;*\;\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{1}{2}\;*\;\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}$$
[/mm]
durch Betrachtung $0 [mm] \not=h \to 0\,.$
[/mm]
Deswegen reicht es, oben zu zeigen, dass [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] differenzierbar ist, d.h. es reicht, zu zeigen, dass $f'(0)$ existiert - denn an allen anderen Stellen [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] ist klar, dass [mm] $f'(x_0)$ [/mm] existiert. Hier hat der Aufgabensteller aber gepatzt: Für [mm] $n=1\,$ [/mm] ist [mm] $f\,$ [/mm] an der Stelle [mm] $0\,$ [/mm] nämlich nicht differenzierbar!! (Wobei er natürlich sagen kann: Naja, im Falle [mm] $n=1\,$ [/mm] steht da auch nicht, dass [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h) - f(x_{0}-h)}{2h}=f'(0)$ [/mm] sein soll, weil es kein $f'(0)$ gibt. So gesehen wäre er durchaus im Recht!)
Zu der anderen Frage:
Betrachte mal
[mm] $$f(x)=2|x|\,.$$
[/mm]
Für o.E. $h > [mm] 0\,$ [/mm] gilt dann
[mm] $$\frac{f(0+h)-f(0-h)}{2h}=\frac{2h-2h}{2h}=0\,.$$
[/mm]
Was passiert bei $h [mm] \to [/mm] 0$? Und: Existiert hier $f'(0)$?
(P.S.: Ich weiß, ich bin "ein wenig" fies: Anstatt obiges $f(x)=2*|x|$ wäre vielleicht [mm] $f(x)=|x|\,$ [/mm] ein wenig passender, im Hinblick auf A), gewesen!
P.P.S.: Wirklich fies wird's nun: Betrachte mal
[mm] $$f(x)=\begin{cases} \sqrt{x}, & \mbox{für } x \ge 0 \\ \sqrt{-x}, & \mbox{für } x \le 0 \end{cases}\,,$$
[/mm]
wobei Du beachtest, dass $f(0)=0$ wegen [mm] $0=-0\,$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{-0}=\sqrt{0}=0$ [/mm] ist. Warum ist das fies? Hier existiert etwa die rechtsseitige Ableitung ab der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht...)
Gruß,
Marcel
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