Differenzierbarkeit beweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Sa 02.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
Ich habe nun mehrere Wege gesehen, wie man die Differenzierbarkeit von Funktionen beweisen kann, aber so recht verstanden habe ich es noch nicht.
Ich muss ja die Existenz des Differenzenquotient beweise:
[mm] \limes_{n\rightarrow x_0} \bruch{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}. [/mm] Soweit auch irgendwie klar und später dann Ableitungen bilden ist auch recht einfach. Nur wie Beweise ich das denn nun genau? Vielleicht könntet ihr das mal für diese "einfache" Funktion vormachen?
f(x) = x*cos(|x|) bzw. dann ja analog g(x) = x*cos(x)
Ich danke!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Sa 02.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
fuer zusammengesetzte fkt. wie deine zitierten, zeigt man lieber allgemein, dass das Produkt und Quotient (solange Nenner fkt [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbar, wenn die einzelnen fkt diffbar.
dann bleibt cos|x| und da cos (x)=cos(-x) kann ich cos(|x|)=cosx und es bleibt nur die Deffb. von cosx uebrig die kannst du ja einfach versuchen und dann helfen wir ,wo du nicht weiter kommst.
bei sin(|x|) ist klar, dass es bei 0 nicht diffb ist weil sin(-x) bei 0 die Steigung -1 sin(+x) die Steigung 1 hat.
Also musst du uns wirklich ne fkt sagen, bei der du Schwierigkeiten hast, den Anfang selbst machen, da du ja die def. eigentlich kennst. und wir springen ein, wo du nicht weiter kommst.
Wenn du im forum rumstoeberst, findest du recht viele Beweise von Differenzierbarkeitsbeweisen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi,
Ich habe mir nochmal ein paar Beispielaufgaben angeschaut und wollte nun folgende lösen:
Ist f(x) = x*sin(|x|) differenzierbar?
Erstmal ist ja die Komposition von differenzierbaren Funktionen auch differenzierbar, also brauch ich nur folgendes Prüfen
h(x) = x diff.? Logisch, dass diese Funktion differenzierbar ist (stetig und links, rechtsseitige Grenzwert überall gleich)
g(x) = sin(|x|) diff?
Für x > 0 gilt g(x) = sin(x), für x < 0 gilt g(x) = -sin(x), für x = 0 gilt g(x) = -sin(0) = sin(0) = 0
also ist g(x) = sin(|x|) auch differenzierbar und daher auch f(x)
1. Ist das so richtig?
2. Wie würde z.B. ein formaler Beweis für die Differenzierbarkeit von sin(x) (am liebsten mit Differenzenquotient, geht aber auch mit linker/rechter Grenzwert + Stetigkeit) aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei x=0 ist sin|x| nach deinem Argument stetig, Differenzierbar aber nicht. der linksseitige GW des Differenzenquotienten ist -1, der rechtsseitige GW +1, d.h. nicht differenzierbar. deshalb muesstest du an der stelle die komposition untersuchen., wie da der GW aussieht.
denn der Satz, dass die Komp. diffb. fkt wieder eine ergibt, ist nicht umkehrbar. das produkt einer nicht diffb, fkt und einer nich diffb. fkt kann aber muss nicht diffb. sein.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Also ich stehe nun vor folgendem Problem: Woher weiß ich, an welchen "kritischen" Stellen ich die Funktion untersuchen muss?
Im Skript zur Vorlesung steht leider nichts über die Komposition von diff. Funktionen, daher bin ich mir nicht sicher ob ich das hier anwenden darf.
Wenn ich weiß an welcher Stelle die Funktion "kritisch" sein kann, finde ich das recht gut machbar, aber wie kann ich diese Stellen herausfinden (ohne den Satz über die Kompositionen von diff. Funktionen)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 03.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
1. Wenn eine Funktion $f$ in einem Punkt $a$ nicht stetig ist, so kann sie dort auch nicht differenziert werden. Das ist hoffentlich klar. Stetigkeit kannst Du Dir (im eindimensionalen reellen Fall) so vorstellen, dass Du den Funktionsgraphen durchgehend zeichnen kannst, d.h. ohne den Stift abzusetzen. (Zwar etwas unmathematisch, aber diese Erklärung sollte zum Stetigkeitsbegriff motivieren).
2. Bei eindimensionalen Funktionen lässt es sich relativ leicht feststellen, ob eine Funktion in einem Punkt differenzierbar ist oder nicht, indem Du die Funktion zeichnest. Zeichne beispielsweise mal die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ oder die von Dir erwähnte Funktion [mm] $f(x)=\sin|x|$ [/mm] jeweils im Bereich [mm] $x\in[-2,2]$ [/mm] und siehe Dir den Kurvenverlauf bei $x=0$ an. Dort laufen die Graphen "sehr spitz" ineinander, was (häufig/immer) ein Indiz dafür ist, dass die Funktion in diesem Punkt nicht differenziert werden kann. Zum mathematischen Beweis der Unstetigkeit an einer solchen Stelle, betrachtest Du zwei Differenzenquotienten: Einmal [mm] $x\to [/mm] 0$ mit $x>0$ und [mm] $x\neq [/mm] 0$ sowie [mm] $x\to [/mm] 0$ mit $x<0$ und [mm] $x\neq [/mm] 0$. Die Grenzwerte stimmen in diesem Fall nicht überein (Betragsfunktion ist einer $1$ und der andere $-1$), daher existiert dieser Grenzwert des Differenzenquotienten nicht und die Funktion ist in diesem Punkt nicht differenzierbar. Versuche es an dem einfachen Beispiel $f(x)=|x|$ einmal selbst und verwende $|x|=x$ für $x>0$ und $|x|=-x$ für $x<0$.
Gruß Denny
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Danke für diese aufschlussreiche Zusammenfassung, aber das war nicht direkt meine Frage.
Die Sache ist die: Woher weiß ich an welchen Stellen genau ich eine Funktion untersuchen muss?
Klar durch Zeichnen, aber das hilft mir in einer Klausursituation nicht wirklich weiter bzw. ist es relativ unmathematisch zu sagen "an der Stelle x sieht der Graph spitz aus, daher prüfe ich dort auf Differenzierbarkeit"
Wie wurde Beispielsweise mal bewiesen, dass f(x) = cos(x) differenzierbar ist? Okay man muss die Existenz des Differenzenquotienten prüfen bzw. schauen ob cos(x) stetig und in jedem Punkt den gleichen Grenzwert hat, aber wie macht man das?
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{cos(x) - cos(x_o)}{x-x_o} [/mm] = ...?
Wenn man nun für [mm] x_0 [/mm] einen konkreten Wert, z.B. [mm] x_0 [/mm] = 0 hat, so kann man die Terme meistens gut abschätzen, aber ich muss ja für jedes beliebe [mm] x_0 [/mm] testen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 So 03.05.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
> Danke für diese aufschlussreiche Zusammenfassung, aber das
> war nicht direkt meine Frage.
> Die Sache ist die: Woher weiß ich an welchen Stellen genau
> ich eine Funktion untersuchen muss?
Ich habe Dir nun erklärt, wie Du die Stellen einer stetigen Funktion feststellen kannst, an denen sie nicht differenzierbar ist und wie man die "nicht Differenzierbarkeit" an den Stellen nachweist. Die Stetigkeit zeigst Du dann über den Differenzenquotienten.
> Klar durch Zeichnen, aber das hilft mir in einer
> Klausursituation nicht wirklich weiter bzw. ist es relativ
> unmathematisch zu sagen "an der Stelle x sieht der Graph
> spitz aus, daher prüfe ich dort auf Differenzierbarkeit"
Es sollte Dir auch nur eine veranschaulichte Vorstellung davon bieten, wie man "nicht differenzierbare" Stellen lokalisiert. Als Beweis oder als Argumentation in einer Klasur kannst Du diese Formulierung sicherlich nicht verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ich habe nun mal folgende Funktionen auf diff. überprüft:
f(x) = x*sin(|x|)
g(x) = x*|sin(x)|
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0^+} \bruch{x*sin(x) - x_{0}*sin(x_0)}{x-x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0^-}\bruch{x*sin(|x|) - x_{0}*sin(|x_0|)}{x-x_0}=\limes_{x\rightarrow x_0^+} \bruch{-x*-sin(x) - -x_{0}*-sin(x_0)}{-x+x_0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_0^+} \bruch{x*sin(x) - x_{0}*sin(x_0)}{-x+x_0} \rightarrow [/mm] f(x) ist dif.
[mm] limes_{x\rightarrow x_0^+} \bruch{x*|sin(x)| - x_{0}*|sin(x_0)|}{x-x_0} \not= limes_{x\rightarrow x_0^-} \bruch{-x*|sin(-x)| + x_{0}*|sin(-x_0)|}{-x+x_0} [/mm] für x = [mm] n*\pi
[/mm]
Ich bitte um Korrektur.... :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
was du da gemacht hast verstehe ich nicht.
was soll das f(x) sein gegen das die differenzenquotienten konvergieren? ich seh nur, dass da die unbewiesene beh. steht.
kritisch ist doch nur [mm] x_0 [/mm] = 0 in der ersten fkt. warum setzt du das nicht ein? woher taucht nach dem 2 ten = das -x auf?
auch im 2ten Teil sehe ich ausser der Beh. keinen Beweisschritt. auch hier wieder woher das -x? x ist doch rechts oder links von [mm] x_0 [/mm] also [mm] x=x_0+h [/mm] oder [mm] x_0-h [/mm] h>0
auch hier eine beliebige Stelle [mm] x_0=n*\pi [/mm] betrachten, da es ueberall sonst von alleine diffb. ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Also ich möchte mich erstmal für eure Mühen bedanken, denn momentan stehe ich hier echt total auf dem Schlauch und habe auch das Gefühl nicht gerade viel zu verstehen.
Um zu beweisen ob eine Funktion differenzierbar ist muss ich die Existenz des Differenzenquotienten an jeder Stelle [mm] x_0 [/mm] beweisen. Anscheinend ist das aber gar nicht so üblich, weil mir jeder sagt, ich müsse die Existenz nur an "kritischen Stellen" zeigen. Schäfer ausgedrückt muss ich doch zeigen, dass der Differenzenquotient an diesen Stellen eindeutig ist und auch definiert ist oder?
Nun kommen für mich folgende Frage dabei auf:
1. Wieso ist es "so klar", dass die zu untersuchende Funktion an allen Stellen außer den besagten "kritischen Stellen" differenzierbar ist? Um der Definition genüge zu tun muss ich es doch eigentlich für alle Stellen beweisen und nicht nur für diese "paar kritischen"
2. In 95% der Beispiele die ich bisher so gesehen habe war 0 die kritische Stelle. Ich glaube nicht, dass 0 immer die kritische Stelle ist, weil es dafür eigentlich keinen logisch mathematischen Grund gibt. Daher würde ich gerne wissen wie man diese "kritischen Stellen" dann auch, ohne zu zeichnen versteht sich, findet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 03.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fkt x ist stetig und diffb.
die fkt sinx ist stetig und diffb.
daraus folgt - was ihr wahrscheinlich mal bewiesen habt (etwa bei der herleitung der produktregel) dass x*sinx diffb ist ebenso x*sin(-x).
jetzt f=x*sin(|x|)
kann man umschreiben in
[mm] f(x)=\begin{cases} x*sin(x), & \mbox{für } x\ge0 \\ x*sin(-x), & \mbox{für } x\le0 \end{cases}
[/mm]
d.h. fuer alle x<0 und fuer alle x>0 ist die fkt stetig und diffb. bleibt der Punkt x=0
da muss man jetzt den links und rechsseitigen GW des Differenzenquotienten untersuchen.
Deine 2. te fkt ist ueberall, wo sinx>0 ist stetig, weil sie da x*sinx ist und ueberall wo sinx<0 weil es dann x*(-sinx) ist. bleiben die Stellen wo sinx=0 ist, die sind die einzigen fraglichen Stellen.
bei der Diffb. von cosx
einfacher mit (cos(x+h)-cos(x))/h arbeiten.
und cos(x+h)=cosxcosh-sinxsinh verwenden dann muss man nur noch zeigen sinh/h=1 fuer h gegen 0.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 So 03.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah hm, ja langsam dämmerts mir etwas besser. Ich denke da werde ich wohl noch ein paar Aufgaben zu machen müssen um das komplett zu verstehen, aber das ist doch schonmal ein gutes Beispiel. Die Grenzwerte so richtig für die 1. Funktion?:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} [/mm] x*sin(-x) = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} [/mm] -x*sin(x) [mm] \not= \limes_{x\rightarrow 0^+} [/mm] x*sin(x) also ist f(x) in 0 nicht dif.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Mo 04.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hier steht doch kein Differenzenquotient, beide GW sind 0, d.h gleich und damit ist die fkt in x=0 stetig.
wieso schreibst du die 2 sind nicht gleich? dazu muesstest du wenn die 2 verschiedenen Werte angeben. dadurch dass du einfach [mm] \ne [/mm] hinschreibst hst du doch nichts gezeigt?
Mach so was nicht in so ner Kette.
Berechne zuerst den lim von rechts, gib ihn an, wenn er existiert.
Berechne dann den GW von links, gib ihn an, wenn er existiert.
dann vergleiche die 2 und stelle fest ob sie gleich sind oder nicht.
Dasselbe jetzt mit dem GW des Differenzenquotienten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:02 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Öhm ja, das war eigentlich das was ich getan hatte:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{x\cdot{}sin(x) - 0\cdot{}sin(0)}{x-0} [/mm] $ = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{x\cdot{}sin(x))}{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} [/mm] sin(x) = 0
$ [mm] \limes_{x\rightarrow 0^-} \bruch{x\cdot{}sin(-x) - 0\cdot{}sin(0)}{x-0} [/mm] $ = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} \bruch{-x\cdot{}sin(x))}{-x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 0^+} [/mm] sin(x) = 0 ?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Mo 04.05.2009 | | Autor: | BBFan |
Ist Ok. Zweite Aussage klappt natürlich, da der Sinus symmetrisch zu 0 liegt.
Gruss
BBFan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Mo 04.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Also ich wollte mich nochmal bei allen hier bedanken die mir so tatkräftig geholfen haben. Denke, dass ich es nun fast zu 100% verstanden haben, werde aber wohl noch ein paar Beispielaufgaben durchrechnen :D
DANKE!!
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