Differenzierbarkeit in 0 < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
irgendwie habe ich mich jetzt ganz durcheinandergebracht mit der Differenzierbarkeit.
Hier eine Funktion die ich mir selbst definiert habe (diesesmal also keine Aufgabe  )
[mm] f:[-1,1]\mapsto\IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x <0 \\ x, & x\ge 0 \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist ja in 0 klar nicht differenzierbar, fange ich aber wieder mit dem Differentialquotienten an:
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0}\frac{h}{h}=1
[/mm]
Kann es sein, dass ich auch Folgen h betrachten muss, deren "Elemente" kleiner 0 sind? Liegt hier die Krux begraben?
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo!
> Kann es sein, dass ich auch Folgen h betrachten muss, deren
> "Elemente" kleiner 0 sind? Liegt hier die Krux begraben?
Genau, du musst einmal den Differentialquotient
[mm] \lim_{h\to 0-}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
bestimmen (von links), und in diesem Fall wendest du auch die Funktion 0 aus deiner Definition an. Dann musst du
[mm] \lim_{h\to 0+}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
(von rechts) bestimmen, hier wendest du die Funktion x aus deiner Definition an. Wenn
[mm] $\lim_{h\to 0-}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0+}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] =: [mm] \lim_{h\to 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$
[/mm]
gilt, ist die Funktion an der Stelle differenzierbar.
Grüße, Stefan.
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