Differenzierbarkeit prüfen < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
| Aufgabe | Die Funktion f : IR → IR sei definiert durch
0 , fallsx≤0,
f(x):= x2 , fallsx>0,.
Zeigen Sie, dass f auf ganz IR differenzierbar ist. Zeigen Sie, dass die Ableitung f′
nicht auf ganz IR differenzierbar ist. |
Hey Leute ,
Theoretisch ist mir klar wie ich Differenzierbarkeit in einem bestimmten Punkt zeige , aber wie ich es auf ganz R zeige habe ich noch nicht verstanden.Den Artikel hier im Forum hab ich Gelsen , aber das hat mir auch nicht geholfen.Was ich verstanden habe ist , dass ich zeigen muss dass die Teilfunktionen differenzierter sind.Es scheitert an der Umsetzung grade.Würde mich freuen wenn mir jemand helfen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tanye,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Die Funktion f : IR → IR sei definiert durch
> 0 , fallsx≤0,
> f(x):= x2 , fallsx>0,.
[mm]f\left(x\right):=\left\{\begin{matrix}{0 & \operatorname{,falls } x \le 0 \\ x^{2} & \operatorname{,falls } x > 0}\end{matrix}\right[/mm]
> Zeigen Sie, dass f auf ganz IR differenzierbar ist. Zeigen
> Sie, dass die Ableitung f′
> nicht auf ganz IR differenzierbar ist.
> Hey Leute ,
>
> Theoretisch ist mir klar wie ich Differenzierbarkeit in
> einem bestimmten Punkt zeige , aber wie ich es auf ganz R
> zeige habe ich noch nicht verstanden.Den Artikel hier im
> Forum hab ich Gelsen , aber das hat mir auch nicht
> geholfen.Was ich verstanden habe ist , dass ich zeigen muss
> dass die Teilfunktionen differenzierter sind.Es scheitert
> an der Umsetzung grade.Würde mich freuen wenn mir jemand
> helfen kann.
>
Die Nullfunktion ist zunächst für [mm]x \le 0[/mm] differenzierbar ist.
Ebenso ist die Funktion [mm]x^{2}[/mm] auf [mm]x > 0[/mm] differenzierbar-
Damit die Funktion auf ganz [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist,
muß sie auch an der Stelle x=0 differenzerbar sein.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
Vielen Dank für deine Antwort :) Zz. E : [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-0}{x-0} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] x = 0 So , richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:59 Sa 17.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Vielen Dank für deine Antwort :) Zz. E :
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x^2-0}{x-0}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0}[/mm] x = 0 So , richtig ?
Hallo,
das ist erst die Hälfte.
Du hast gezeigt:
[mm]\limes_{\stackrel{x\rightarrow\ 0}{x>0}}\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm] = 0
Jetzt musst du zeigen, dass
[mm]\limes_{\stackrel{x\rightarrow\ 0}{x<0}}\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}[/mm] den gleichen Grenzwert 0 hat.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Sa 17.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
[mm] $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
[/mm]
falsch
[mm] $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$
[/mm]
richtig
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:12 Sa 17.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
>
> falsch
>
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
>
> richtig
>
>
> Gruss
> kushkush
Du hast recht.
So wäre es hier aber auch auch richtig:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
Moment ich bin etwas verwirrt ich muss zeigen dass der Limes des Differenzenquotienten einmal für [mm] x->x_{0} [/mm] mit [mm] x_{0}>0 [/mm] und einmal [mm] x->x_{0} [/mm] mit [mm] x_{0}<0 [/mm] gleich ist .
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{x^{2}}{x} =\limes_{x\rightarrow\x_{0}} [/mm] x = 0
Dann war das doch der Weg für [mm] x_{0}>0 [/mm] weil genau dann doch [mm] f(x)=x^{2} [/mm] ist oder nicht und der andere Weg ist dann :
[mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{0-0}{0-0} [/mm] = 0
Also die untere Rechnung sei für [mm] x_{0}<0 [/mm] und die obere für [mm] x_{0}>0 [/mm] :)
Danke für eure Antworten - Tanye
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Sa 17.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Moment ich bin etwas verwirrt ich muss zeigen dass der
> Limes des Differenzenquotienten einmal für [mm]x->x_{0}[/mm] mit
> [mm]x_{0}>0[/mm] und einmal [mm]x->x_{0}[/mm] mit [mm]x_{0}<0[/mm] gleich ist .
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} =\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{x^{2}}{x} =\limes_{x\rightarrow\x_{0}}[/mm]
> x = 0
>
> Dann war das doch der Weg für [mm]x_{0}>0[/mm] weil genau dann doch
> [mm]f(x)=x^{2}[/mm] ist oder nicht und der andere Weg ist dann :
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}}[/mm] =
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}} \bruch{0-0}{0-0}[/mm] = 0
>
> Also die untere Rechnung sei für [mm]x_{0}<0[/mm] und die obere
> für [mm]x_{0}>0[/mm] :)
>
> Danke für eure Antworten - Tanye
Hallo,
statt [mm] \bruch{0-0}{0-0} [/mm] muss es [mm] \bruch{0-0}{x-0} [/mm] heißen.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:53 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
Ok danke :) Kommt ja aber das gleiche raus und damit hab ich gezeigt , dass f(x) auf ganz R diffbar ist ? weil der Limes von x -> [mm] x_{0} [/mm] < und > 0 = 0 ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Sa 17.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
du sollst an der Stelle [mm] $x_{0}= [/mm] 0$ überprüfen ob der Differentialquotient [mm] $\limes _{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ [/mm] für beide Teilfunktionen gleich ist oder nicht und dadurch aussagen ob deine Funktion differenzierbar ist an dieser Stelle oder nicht.
>
die erste Gleichheit bei beiden Gleichungsketten ist nicht richtig.
> Aufgabenstellung
Für das ganze Intervall kannst du das machen mit dem Differentialquotient aber schneller ist es wenn du die Schnittstelle überprüfst und den Satz verwendest dass Kompositionen und Produkte von differenzierbaren Funktionen wieder differenzerbar sind.
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
> Hallo,
>
>
> du sollst an der Stelle [mm]x_{0}= 0[/mm] überprüfen ob der
> Differentialquotient [mm]\limes _{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}[/mm]
> für beide Teilfunktionen gleich ist oder nicht und
> dadurch aussagen ob deine Funktion differenzierbar ist an
> dieser Stelle oder nicht.
>
>
>
> >
>
> die erste Gleichheit bei beiden Gleichungsketten ist nicht
> richtig.
>
>
> > Aufgabenstellung
>
>
> Für das ganze Intervall kannst du das machen mit dem
> Differentialquotient aber schneller ist es wenn du die
> Schnittstelle überprüfst und den Satz verwendest dass
> Kompositionen und Produkte von differenzierbaren Funktionen
> wieder differenzerbar sind.
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Für <0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] ergibt sich [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} \bruch{0}{x} [/mm] = 0
Für >0
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] ergibt sich [mm] \limes_{x\rightarrow\ x_{0}} [/mm] x = 0
Du meinst das ist theoretisch richtig aber wenn ich den Schnittpunkt beider Teilfunktionen überprüfe bin ich schneller hab ich dich richtig verstanden ? :) Würdest du mir erklären wie ich das mache ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Sa 17.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
>wie
du hast fast richtig gemacht, nicht richtig gesagt. Du setzt [mm] $x_{0}=0 [/mm] $ und überprüfst damit die Übergangsstelle mit Hilfe des Differentialquotienten bei beiden Teilfunktionen, dass ansonsten $f(x)=0$ und $g(x)= [mm] x^{2}$ [/mm] differenzierbar sind folgt aus dem Satz für Kompositionen. Damit bist du fertig!
wenn du hast
[mm] $f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ (x+1)^{2}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
dann stimmt das nicht und trotzdem sind die beiden Teilfunktionen überall differenzierbar.
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Sa 17.09.2011 | | Autor: | tanye |
> Hallo,
>
>
> >wie
>
>
> du hast fast richtig gemacht, nicht richtig gesagt. Du
> setzt [mm]x_{0}=0[/mm] und überprüfst damit die Übergangsstelle
> mit Hilfe des Differentialquotienten bei beiden
> Teilfunktionen, dass ansonsten [mm]f(x)=0[/mm] und [mm]g(x)= x^{2}[/mm]
> differenzierbar sind folgt aus dem Satz für Kompositionen.
> Damit bist du fertig!
>
>
> wenn du hast
>
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ (x+1)^{2}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
>
> dann stimmt das nicht und trotzdem sind die beiden
> Teilfunktionen überall differenzierbar.
>
>
> Gruss
> kushkush
Super ! :D Vielen Dank ich habs verstanden :D :))
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