Differenzierbarkeit und Stet < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 So 16.09.2007 | | Autor: | Trasher |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=sin |x| , -π<=x<=π.
a) Skizzieren Sie den Graphen von f (1 LE= 1cm)
b) Untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit an der Stelle xo=0
c) Untersuchen Sie die Funktion f auf Differenzierbarkeit an der Stelle x0=0, Argumentieren Sie auch anschaulich, bezugnehmend auf ihre Skizze. |
Hallo,
ich soll das zu Montag fertig machen, habe aber momentan leider den totalen Blackout.
Bis jetzt hatten wir die Stetigkeit und Differenzierbarkeit an einer Funktion f(x) immer mit 2 Folgen xn untersucht.
Hoffe jemand von euch kann mir einen Denkanstoß geben, wie ich am besten anfangen sollte das zu rechnen.
Danke schon mal im voraus und noch ein schönes WE,
Robert
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:44 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Robert,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Was spricht hier dagegen, die Stetigkeit / Differenzierbarkeit an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ebenfalls mit entsprechenden Folgen zu untersuchen?
Zum Beispiel die Folgen [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{1}{n}$ [/mm] bzw. [mm] $b_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{n}$ [/mm] . Diese beiden Folgen nähern sich ja (von unterschiedlichen Seiten her) dem Wert $0_$ an für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] .
Verwende hier noch die Definition der Betragsfunktion, um Deine gegebene Funktion ohne Betragsstriche darzustellen:
[mm] f(x)=\sin|x|=\begin{cases} \sin(-x), & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \sin(+x), & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 16.09.2007 | | Autor: | Trasher |
Okay, also ich habe leider auch mit den nun festgesetzten Folgen keinen Plan. Ich habe das noch nicht kapiert, wie ich jetzt die Stetigkeit festlegen kann, sitze hier mit 2 Lehrbüchern und 2 Heftern aus Klasse 11 & 12 und versuche was zusammen zu basteln.
Will hier nichts geschenkt haben, bemühe mich um ein selbstständiges Ergebnis ohne dass mir jemand was "vorgerechnet" hat. Trotzdem wäre es nett wenn mir jemand kurz Schritt für Schritt erläutern kann, was ich machen muss, denn ich glaube das hier ist Nonsinns:
[mm] an=+\bruch{1}{n} [/mm] und [mm] bn=-\bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(an)=0 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(bn)=0,
[/mm]
jetzt muss ich das in die Funktion f(x)=sin |x| einsetzen:
$ [mm] f(x)=\sin|x|=\begin{cases} \sin(-x), & \mbox{für } x \ < \ 0 \mbox{ } \\ \sin(+x), & \mbox{für } x \ \ge \ 0 \mbox{ } \end{cases} [/mm] $
linksseitiger Grenzwert:
f(an)=sin [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(an)=\limes_{n\rightarrow\infty}sin \bruch{1}{n}=0
[/mm]
rechtsseitiger Grenzwert:
f(an)=sin [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(an)=\limes_{n\rightarrow\infty}sin -\bruch{1}{n}=0
[/mm]
Sprich linksseitiger=rechtsseitiger Grenzwert. Also keine Sprungstelle, eine Stetige Funktion?!?
Zur Differenzierbarkeit schreibe ich mal nichts, will erstmal sehen, ob das hier richtig ist!
Würde mich über eure Hilfe freuen!
Grüße und noch einen schönen Restsonntag,
Robert
|
|
|
| |
|
Bei der Differenzierbarkeit betrachtet man analog die Differentialquotienten, oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:06 So 16.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pleaselook!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
> Vorneweg: es stimmt, die Funktion [mm]f(x) \ = \ \sin|x|[/mm] ist
> auch an der Stelle [mm]x_0 \ = \ 0[/mm] stetig.
Hallo,
da stimme ich mit Dir überein.
Man könnte das z.B. schnell damit begründen, daß die Verkettung stetiger Funktionen stetig ist.
Wenn ich Dich recht verstehe, hast Du die Stetigkeit aber so begründet, daß für die Folgen [mm] x_n:=\bruch{1}{n}\to [/mm] 0 und [mm] y_n:=-\bruch{1}{n}\to [/mm] 0 der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(0)=0 [/mm] bzw. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(y_n)=f(0)=0 [/mm] ist.
Das reicht nicht! Bei Stetigkeit muß das ja für JEDE Folge mit den entsprechenden Eigenschaften gelten.
Nehmen wir die Funktion
[mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \end{cases}
[/mm]
Diese Funktion ist nicht stetig im Punkt 0, obgleich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(\bruch{1}{n})=0=f(0) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(-\bruch{1}{n})=0=f(0).
[/mm]
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:54 Di 18.09.2007 | | Autor: | Trasher |
So,
letztendlich konnte ich im Unterricht nur Punkte sammeln, weil wir eigentlich nur die Stetisgkeit anhand der Zeichnung überprüfen sollten.
Danke noch mal an alle, die mir bei der Sache geholfen haben!
Werde auf jeden Fall das Forum weiter nutzen.
Grüße,
Robert
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
