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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:21 Di 14.08.2007 | | Autor: | Lars_B. |
| Aufgabe | Differenzieren Sie einmal:
1. [mm]y = \bruch{e^{2x}}{\ln\wurzel{x}}[/mm]
2. [mm]y = \bruch{1}{sin\wurzel{x}}[/mm]
3. [mm]y = ln(\bruch{x^2*e^x}{e^{x^2}})[/mm] |
Guten Morgen,
leider habe ich bei diesen Aufgaben Probleme auf das richtige Ergebnis zu kommen.
1. [mm]y = \bruch{e^{2x}}{ln\wurzel{x}}[/mm]
[mm] u=e^{2x}; u'= 2 e^{2x} [/mm]
[mm] v = ln\wurzel{x}; v' = \bruch{1}{\wurzel{x}} * \bruch{1}{2\wurzel{x}} = \bruch{1}{2x} [/mm]
[mm] y'=\bruch{ln\wurzel{x}*2e^{2x} - e^{2x} * \bruch{1}{2x} }{(ln\wurzel{x})^2}[/mm]
rauskommen soll:
[mm] y' = 2e^{2x} * \bruch{lnx - \bruch{2}{x}}{ln^2x} [/mm]
2. [mm]y = \bruch{1}{sin\wurzel{x}}[/mm]
[mm] z = sin \wurzel{x}; z' = \bruch{cos\wurzel{x}}{2\wurzel{x}} [/mm]
[mm] y = z^{-1}; y' = -1 * z^{-2} * z'[/mm]
[mm]= -1 * \bruch{\cos\wurzel{x}}{2\wurzel{x}*(\sin \wurzel{x})^2} [/mm]
die -1 ist hier laut Lösung falsch, wieso ?
3. [mm]y = \ln(\bruch{x^2*e^x}{e^{x^2}})[/mm]
[mm]y = \ln(x^2*e^x) - \ln(e^{x2})[/mm]
[mm] y'= \bruch{1}{x^2*e^x} * 2x + e^x + x^2 * e^x - \bruch{1}{e^{x^2}} * e^{x^2} * 2x = \bruch{2}{x} + x^2 * e^x - 2x[/mm]
rauskommen soll aber:
[mm] y' = \bruch{2}{x} + 1 - 2x[/mm]
Danke
Grüße
Lars
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> Differenzieren Sie einmal:
> 1. [mm]y = \bruch{e^{2x}}{\ln\wurzel{x}}[/mm]
> 2. [mm]y = \bruch{1}{sin\wurzel{x}}[/mm]
>
> 3. [mm]y = ln(\bruch{x^2*e^x}{e^{x^2}})[/mm]
> Guten Morgen,
>
> leider habe ich bei diesen Aufgaben Probleme auf das
> richtige Ergebnis zu kommen.
>
> 1. [mm]y = \bruch{e^{2x}}{ln\wurzel{x}}[/mm]
> [mm]u=e^{2x}; u'= 2 e^{2x}[/mm]
>
> [mm]v = ln\wurzel{x}; v' = \bruch{1}{\wurzel{x}} * \bruch{1}{2\wurzel{x}} = \bruch{1}{2x}[/mm]
>
> [mm]y'=\bruch{ln\wurzel{x}*2e^{2x} - e^{2x} * \bruch{1}{2x} }{(ln\wurzel{x})^2}[/mm]
Hallo,
das stimmt mit meinem Ergebnis überein.
Du kannst das nun noch vereinfachen, wenn Du bedenkst, daß [mm] ln\wurzel{x}= \bruch{1}{2}lnx.
[/mm]
Noch viel einfacher wird die Sache, wenn man gleich zu Anfang y = [mm] \bruch{e^{2x}}{ln(\wurzel{x})}= \bruch{2e^{2x}}{lnx} [/mm] schreibt und dann ableitet.
Dann erhält man ein Ergebnis, welches dem unten angegebenen ähnlich ist. Das unten angegebene Ergebnis ist nicht ganz richtig.
>
> rauskommen soll:
> [mm]y' = 2e^{2x} * \bruch{lnx - \bruch{2}{x}}{ln^2x}[/mm]
>
> 2. [mm]y = \bruch{1}{sin\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]z = sin \wurzel{x}; z' = \bruch{cos\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]y = z^{-1}; y' = -1 * z^{-2} * z'[/mm]
>
> [mm]= -1 * \bruch{\cos\wurzel{x}}{2\wurzel{x}*(\sin \wurzel{x})^2}[/mm]
>
> die -1 ist hier laut Lösung falsch, wieso ?
Wegen gar nichts. Das Minuszeichen gehört dahin.
>
> 3. [mm]y = \ln(\bruch{x^2*e^x}{e^{x^2}})[/mm]
>
> [mm]y = \ln(x^2*e^x) - \ln(e^{x2})[/mm]
>
> [mm]y'= \bruch{1}{x^2*e^x} * 2x + e^x + x^2 * e^x - \bruch{1}{e^{x^2}} * e^{x^2} * 2x = \bruch{2}{x} + x^2 * e^x - 2x[/mm]
Hier hast Du Gewurschtel mit Deinen Rechenzeichen gemacht.
Richtig wäre
y'= [mm] \bruch{1}{x^2*e^x} [/mm] * (2x [mm] *e^x [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^x) [/mm] - [mm] \bruch{1}{e^{x^2}} [/mm] * [mm] e^{x^2} [/mm] * 2x,
und wenn Du das ausrechnest, bekommst Du die angegebene Lösung.
Allerdings kann man sich die Sache hier so sehr vereinfachen, daß man beim Ableiten fast nichts mehr können muß:
y = [mm] \ln(\bruch{x^2*e^x}{e^{x^2}}) [/mm] = [mm] \ln(x^2*e^x) [/mm] - [mm] \ln(e^{x2})=ln(x^2)+ln(e^x)-ln(e^{x2})=2lnx [/mm] + x + [mm] x^2.
[/mm]
Gruß v. Angela
>
> rauskommen soll aber:
> [mm]y' = \bruch{2}{x} + 1 - 2x[/mm]
>
>
> Danke
> Grüße
> Lars
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