Differenzierung, Beweis unklar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei $f: [mm] \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $f(x)=||x||_2^2$ [/mm] für $x [mm] \neq [/mm] 0$ und $f(0) :=1$.
Zeigen oder widerlegen Sie dass $f$ differenzierbar ist. |
Hallo zusammen,
ich habe mich an dieser Aufgabe versucht und sie leider komplett falsch gelöst. Die Musterlösung kann ich nachvollziehen, aber meine Lösung schien mir auch richtig zu sein. (was natürlich nicht sein kann)
Zunächst einmal die beiden Lösungen bzw. die Musterlösung und mein Lösungsversuch:
Musterlösung:
Sei [mm] $x\neq [/mm] 0$, dann gilt [mm] $\lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(x)} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x \rightarrow 0}{||x||_2^2} [/mm] = 0$, aber $f(0) = 1$.
Somit ist $f$ nicht differenzierbar.
Mein Lösungsversuch:
Sei zunächst $x [mm] \neq [/mm] 0$, dann ist $f(x)= [mm] ||x||_2^2 [/mm] = [mm] |x_1|^2 [/mm] + [mm] |x_2|^2 [/mm] + ... + [mm] |x_n|^2$ [/mm] und somit [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i} [/mm] (x) = 2 [mm] \cdot |x_i|$ [/mm] für alle $i [mm] \leq [/mm] n$. Die partiellen Ableitungen sind als Komposition stetiger Abbildungen selbst wieder stetig.
Sei nun $x = 0$, dann ist $f(0) := 1$ und somit [mm] $\frac{\partial f}{\partial x_i} [/mm] (0) = 0$ für alle $i [mm] \leq [/mm] n$. Die partiellen Ableitungen sind auch hier stetig.
Insgesamt sind also die partiellen Ableitungen von $f$ zu jedem $x$ existent und stetig, woraus folgt dass das totale Differential existiert.
Somit ist $f$ differenzierbar.
1. Frage: Lässt sich das Kriterium "diffbar [mm] $\Rightarrow$ [/mm] stetig" auch im mehrdimensionalen exakt so wie im eindimensionalen anwenden? (offensichtlich schon?)
2. Frage: An welcher Stelle habe ich in meinem Lösungsversuch einen Fehler gemacht? War es die Fallunterscheidung?
3. Frage: Wie hätte man die Aufgabe noch lösen können?
Schonmal vielen Dank im voraus :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Di 29.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei [mm]f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}[/mm] mit
> [mm]f(x)=||x||_2^2[/mm] für [mm]x \neq 0[/mm] und [mm]f(0) :=1[/mm].
> Zeigen oder widerlegen Sie dass [mm]f[/mm] differenzierbar ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mich an dieser Aufgabe versucht und sie leider
> komplett falsch gelöst. Die Musterlösung kann ich
> nachvollziehen, aber meine Lösung schien mir auch richtig
> zu sein. (was natürlich nicht sein kann)
>
> Zunächst einmal die beiden Lösungen bzw. die
> Musterlösung und mein Lösungsversuch:
>
> Musterlösung:
> Sei [mm]x\neq 0[/mm], dann gilt [mm]\lim\limits_{x \rightarrow 0}{f(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow 0}{||x||_2^2} = 0[/mm],
> aber [mm]f(0) = 1[/mm].
> Somit ist [mm]f[/mm] nicht differenzierbar.
genau, wobei die bessere Logik ist: Damit kann [mm] $f\,$ [/mm] in [mm] $0\,$ [/mm] nicht stetig sein. Aus
der dortigen Nichtstetigkeit folgt die dortige Nichtdiff'barkeit. Weiterhin:
[mm] $\IR^n$ [/mm] ist mit der durch die euklidische Norm induzierten Metrik versehen.
Du kannst übrigens auch
[mm] $f(x)=\sqrt{\sum_{k=1}^n {x_k}^2}^2=\sum_{k=1}^n {x_k}^2$
[/mm]
für $x [mm] \in \IR^n \setminus \{0\}$ [/mm] schreiben - aber ich sehe, dass Du das unten ja
eh machst.
> Mein Lösungsversuch:
> Sei zunächst [mm]x \neq 0[/mm], dann ist [mm]f(x)= ||x||_2^2 = |x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2[/mm]
> und somit [mm]\frac{\partial f}{\partial x_i} (x) = 2 \cdot |x_i|[/mm]
> für alle [mm]i \leq n[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Das ist falsch - gemäß dieser Logik wäre ja auch $g(x):=x^2$ als Funktion $\IR \to \IR$ mit
der Ableitung $g'(x)=(|x|^2)'=2|x|\,$ versehen. Das ist FALSCH.
Und damit Du siehst, wo der Fehler ist, kannst Du ja mal (wir sehen jetzt
vom Punkte $x=0\,$ mal ab) folgendes machen:
1.) Leite $\left.g\right|_{]0,\infty[}$ ab
2.) Leite $\left.g\right|_{]-\infty,0[}$ ab - für $x < 0$ gilt
$x^2=|x|^2=(-x)^2\,.$
Was steht hier nach Anwendung der Kettenregel da?
Jedenfalls Korrektur:
$f_{x_j}(\hat{x})=f_{x_j}(\;(\hat{x}_1,...,\hat{x}_n)^T\;)=:f_{x_j}(\hat{x}_1,...,\hat{x}_n)=2\hat{x}_j\,.$
Hierbei
$f_{x_j}$ wird als Notation für $\partial f/\partial x_j$ verwendet.
> Die partiellen Ableitungen sind als
> Komposition stetiger Abbildungen selbst wieder stetig.
Alle partiellen Ableitungen sind stetig in allen $x \in \IR^n \setminus \{0\}$!
> Sei nun [mm]x = 0[/mm], dann ist [mm]f(0) := 1[/mm] und somit
> [mm]\frac{\partial f}{\partial x_i} (0) = 0[/mm] für alle [mm]i \leq n[/mm].
???
Betrachte mal die erste partielle Ableitung: [mm] $f_{x_1}\,:$ [/mm]
Wie ist nun die partielle Ableitung von [mm] $f\,$ [/mm] in $0 [mm] \in \IR^n$ [/mm] in Richtung [mm] $(1,0,...,0)^T \in \IR^n$ [/mm]
definiert? (Ich schreibe mal [mm] $\textbf{0}$ [/mm] für die [mm] $\IR^n$-Null!)
[/mm]
Per Definitionem:
[mm] $f_{x_1}(\textbf{0})=\lim_{0 \not=t \to 0}\frac{f(\textbf{0}+t*(1,0,...,0)^T)-f(\textbf{0})}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(\;(t,0,...,0)\;)-1}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t^2-1}{t}\,,$
[/mm]
falls denn der letzte Grenzwert existiert. Tut er das? Was schreibst Du bei
[mm] $f_{x_j}(\textbf{0})$ [/mm] nun allgemein hin?
Und das, was ich Dir bisher gezeigt habe, ist, dass die partiellen Ableitungen
in [mm] $\textbf{0}$ [/mm] nicht existieren. Dein Argument kann also nicht funktionieren.
Dass [mm] $f\,$ [/mm] (in [mm] $\textbf{0}$) [/mm] nicht stetig ist wegen
[mm] $\lim_{\IR^n \setminus \{\textbf{0}\} \ni x \to \textbf{0}} |f(x)-f(\textbf{0})|=\lim_{\IR^n \setminus \{\textbf{0}\} \ni x \to \textbf{0}} |\;\|x\|_2^2-1|=1$
[/mm]
und daher dort nicht diff'bar sein kann, das wurde ja schon gezeigt.
(Nebenbei: Beachte bitte, dass in [mm] $(\IR,|.|)\,$ [/mm] gilt: Für $x [mm] \in \IR$ [/mm] und festes(!) [mm] $x_\infty \in \IR$ [/mm] gilt
$x [mm] \to x_\infty$ $\iff$ [/mm] $|x - [mm] x_\infty| \to 0\,.$
[/mm]
Hier ist ja die Metrik gerade durch [mm] $d((x,y)):=|x-y|\,$ [/mm] für [mm] $(x,y)^T \in \IR^2$ [/mm] gegeben!)
> Insgesamt sind also die partiellen Ableitungen von [mm]f[/mm] zu
> jedem [mm]x[/mm] existent und stetig, woraus folgt dass das totale
> Differential existiert.
> Somit ist [mm]f[/mm] differenzierbar.
Nein, siehe oben! Übrigens gibt es auch einen Hinweis, dass Deine
Überlegungen irgendwo *zu einfach zu sein* scheinen:
Du hast ja [mm] $f(\textbf{0})=1$ [/mm] nirgends gebraucht - Du hättest [mm] $f(\textbf{0})$ [/mm] auch
irgendwie anders gesetzt haben können.
>
> 1. Frage: Lässt sich das Kriterium "diffbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> stetig" auch im mehrdimensionalen exakt so wie im
> eindimensionalen anwenden? (offensichtlich schon?)
Ja. Brauchst Du einen Satz (Skript) dazu?
> 2. Frage: An welcher Stelle habe ich in meinem
> Lösungsversuch einen Fehler gemacht? War es die
> Fallunterscheidung?
Siehe oben.
> 3. Frage: Wie hätte man die Aufgabe noch lösen können?
Komplizierter (zeigen, dass die Definition der Diff'barkeit im Punkte [mm] $\textbf{0}$
[/mm]
"nicht greifen kann"). Obiges ist elegant!
P.S. Ich sehe gerade: Eigentlich habe ich durchaus auch auf einem anderen
Weg gezeigt, dass die Funktion in [mm] $\textbf{0}$ [/mm] nicht diff'bar ist. Beachte
![[]](/images/popup.gif) Satz 19.10
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
> Das ist falsch - gemäß dieser Logik wäre ja auch
> [mm]g(x):=x^2[/mm] als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> der Ableitung [mm]g'(x)=(|x|^2)'=2|x|\,[/mm] versehen. Das ist
> FALSCH.
> 1.) Leite [mm]\left.g\right|_{]0,\infty[}[/mm] ab
Die Ableitung sollte [mm]\left.g\right|_{]0,\infty[}' (x) = 2x[/mm] sein
>
> 2.) Leite [mm]\left.g\right|_{]-\infty,0[}[/mm] ab - für [mm]x < 0[/mm]
> gilt
>
> [mm]x^2=|x|^2=(-x)^2\,.[/mm]
>
> Was steht hier nach Anwendung der Kettenregel da?
Die Ableitung sollte [mm]\left.g\right|_{]-\infty,0[}'(x) = 2\cdot (-x) \cdot (-1) = 2x[/mm] sein, also sind die Ableitungen gleich..
Ich würde mir das so erklären: [mm] $|x|^2 [/mm] = [mm] |x|\cdot [/mm] |x| = |x [mm] \cdot [/mm] x| = [mm] |x^2| [/mm] = [mm] x^2$
[/mm]
> > Sei nun [mm]x = 0[/mm], dann ist [mm]f(0) := 1[/mm] und somit
> > [mm]\frac{\partial f}{\partial x_i} (0) = 0[/mm] für alle [mm]i \leq n[/mm].
>
>
> ???
Ich habe damit gemeint dass $f(0) = 1$ per Definition gilt und für jede Variable [mm] $x_i$ [/mm] die Ableitung von $f$ im Punkt $0$ somit $0$ sein muss.. aber das hat sich ja erledigt
>
> Betrachte mal die erste partielle Ableitung: [mm]f_{x_1}\,:[/mm]
> Wie ist nun die partielle Ableitung von [mm]f\,[/mm] in [mm]0 \in \IR^n[/mm]
> in Richtung [mm](1,0,...,0)^T \in \IR^n[/mm]
> definiert? (Ich schreibe mal [mm]\textbf{0}[/mm] für die
> [mm]\IR^n[/mm]-Null!)
>
> Per Definitionem:
>
> [mm]f_{x_1}(\textbf{0})=\lim_{0 \not=t \to 0}\frac{f(\textbf{0}+t*(1,0,...,0)^T)-f(\textbf{0})}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(\;(t,0,...,0)\;)-1}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t^2-1}{t}\,,[/mm]
>
> falls denn der letzte Grenzwert existiert. Tut er das? Was
> schreibst Du bei
> [mm]f_{x_j}(\textbf{0})[/mm] nun allgemein hin?
Allgemein sollte gelten:
[mm]f_{x_j}(\textbf{0})=\lim_{0 \not=t \to 0}\frac{f(\textbf{0}+t*e_j)-f(\textbf{0})}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(t*e_j)-1}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t^2-1}{t} =\lim_{t \to 0} t - \frac{1}{t} = - \infty[/mm]
Somit kann die partielle Ableitung an der Stelle [mm] $\textbf{0}$ [/mm] nicht existieren, wobei [mm] $(e_k)_{k \in \mathbb{N}}$ [/mm] die Standardbasis des [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] bezeichnen soll.
>
> > 1. Frage: Lässt sich das Kriterium "diffbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> > stetig" auch im mehrdimensionalen exakt so wie im
> > eindimensionalen anwenden? (offensichtlich schon?)
>
> Ja. Brauchst Du einen Satz (Skript) dazu?
Also wenn du ein gutes (ausführliches) Analysis 2 Skript kennst, würde ich mich über einen Link freuen :)
>
> > 3. Frage: Wie hätte man die Aufgabe noch lösen können?
>
> Komplizierter (zeigen, dass die Definition der Diff'barkeit
> im Punkte [mm]\textbf{0}[/mm]
> "nicht greifen kann"). Obiges ist elegant!
>
> P.S. Ich sehe gerade: Eigentlich habe ich durchaus auch auf
> einem anderen
> Weg gezeigt, dass die Funktion in [mm]\textbf{0}[/mm] nicht
> diff'bar ist. Beachte
>
> Satz 19.10
>
Indem du gezeigt hast dass es mind. einen Punkt [mm] $x\in \mathbb{R}^n$ [/mm] gibt (also die Null) der in mind. einer Veränderlichen (Einheitsvektor-Richtung) (also in [mm] $e_1$) [/mm] nicht partiell diffbar ist?
> Gruß,
> Marcel
Ich danke dir vielmals für die ausführliche Antwort! :) Habe das ganze jetzt besser verstanden und viel wichtiger: den Vorteil einer Definition gegenüber Spekulation gesehen
Eine zusätzliche Frage zur p-Norm habe ich noch.. bedeutet dass also dass ich bei den (2k)-Normen, also allen geraden Normen) auf den Betrag verzichten kann? Da [mm] $|x|^{2k} [/mm] = [mm] |x^{2k}| [/mm] = [mm] |x^{k}|^2 [/mm] = [mm] x^{2k}$ [/mm] und entsprechend für die ungeraden aber : [mm] $|x|^{2k +1} [/mm] = [mm] x^{2k} \cdot [/mm] |x|$? Also muss ich mir nur bei den ungeraden Normen um den Betrag gedanken machen (sofern [mm] $x_i$ [/mm] nicht schon auf ein vorzeichen eingeschränkt ist)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Mi 30.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> > Das ist falsch - gemäß dieser Logik wäre ja auch
> > [mm]g(x):=x^2[/mm] als Funktion [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> > der Ableitung [mm]g'(x)=(|x|^2)'=2|x|\,[/mm] versehen. Das ist
> > FALSCH.
> > 1.) Leite [mm]\left.g\right|_{]0,\infty[}[/mm] ab
> Die Ableitung sollte [mm]\left.g\right|_{]0,\infty[}' (x) = 2x[/mm]
> sein
> >
> > 2.) Leite [mm]\left.g\right|_{]-\infty,0[}[/mm] ab - für [mm]x < 0[/mm]
> > gilt
> >
> > [mm]x^2=|x|^2=(-x)^2\,.[/mm]
> >
> > Was steht hier nach Anwendung der Kettenregel da?
> Die Ableitung sollte [mm]\left.g\right|_{]-\infty,0[}'(x) = 2\cdot (-x) \cdot (-1) = 2x[/mm]
> sein, also sind die Ableitungen gleich..
> Ich würde mir das so erklären: [mm]|x|^2 = |x|\cdot |x| = |x \cdot x| = |x^2| = x^2[/mm]
ja klar - und Du weißt [mm] $(x^n)'=n*x^{n-1}\,.$ [/mm] Mir ging es drum, dass Du bemerkst,
dass Du eigentlich sowas gerechnet hattest:
[mm] $(|x|^2)'=2\red{|}x\red{|}\,,$
[/mm]
und das passt nicht zu [mm] $|x|^2=x^2\,,$ [/mm] wenn [mm] $(x^2)'=2x$ [/mm] gilt. 
> > > Sei nun [mm]x = 0[/mm], dann ist [mm]f(0) := 1[/mm] und somit
> > > [mm]\frac{\partial f}{\partial x_i} (0) = 0[/mm] für alle [mm]i \leq n[/mm].
> >
> >
> > ???
> Ich habe damit gemeint dass [mm]f(0) = 1[/mm] per Definition gilt
> und für jede Variable [mm]x_i[/mm] die Ableitung von [mm]f[/mm] im Punkt [mm]0[/mm]
> somit [mm]0[/mm] sein muss.. aber das hat sich ja erledigt
Ich nehme an, Du hast irgendwie *formal* gedacht, dass [mm] $f(x)=1\,$ [/mm] auch nahe
bei [mm] $\textbf{0}$ [/mm] gilt...?
> > Betrachte mal die erste partielle Ableitung: [mm]f_{x_1}\,:[/mm]
> > Wie ist nun die partielle Ableitung von [mm]f\,[/mm] in [mm]0 \in \IR^n[/mm]
> > in Richtung [mm](1,0,...,0)^T \in \IR^n[/mm]
> > definiert? (Ich schreibe mal [mm]\textbf{0}[/mm] für die
> > [mm]\IR^n[/mm]-Null!)
> >
> > Per Definitionem:
> >
> > [mm]f_{x_1}(\textbf{0})=\lim_{0 \not=t \to 0}\frac{f(\textbf{0}+t*(1,0,...,0)^T)-f(\textbf{0})}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(\;(t,0,...,0)\;)-1}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t^2-1}{t}\,,[/mm]
>
> >
> > falls denn der letzte Grenzwert existiert. Tut er das? Was
> > schreibst Du bei
> > [mm]f_{x_j}(\textbf{0})[/mm] nun allgemein hin?
> Allgemein sollte gelten:
> [mm]f_{x_j}(\textbf{0})=\lim_{0 \not=t \to 0}\frac{f(\textbf{0}+t*e_j)-f(\textbf{0})}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{f(t*e_j)-1}{t}=\lim_{t \to 0} \frac{t^2-1}{t} =\lim_{t \to 0} t - \frac{1}{t} = - \infty[/mm]
Du machst formal noch einen kleinen Fehler: Es kann ja $0 > t [mm] \to [/mm] 0$ laufen
gelassen werden, dann kommt nicht [mm] $-\,,$ [/mm] sondern [mm] $+\infty$ [/mm] raus. Du betrachtest
eigentlich *nur* den Fall $0 < t [mm] \to 0\,.$ [/mm] Aber am Fazit wird sich nichts wesentlich
ändern, nur, dass wir eigentlich sogar unbestimmte Divergenz sehen.
> Somit kann die partielle Ableitung an der Stelle [mm]\textbf{0}[/mm]
> nicht existieren, wobei [mm](e_k)_{k \in \mathbb{N}}[/mm] die
> Standardbasis des [mm]\mathbb{R}^n[/mm] bezeichnen soll.
[mm] $e_k$ [/mm] soll der [mm] $k\,$-te [/mm] Basisvektor davon sein, meinst Du.
>
> > > 1. Frage: Lässt sich das Kriterium "diffbar [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > stetig" auch im mehrdimensionalen exakt so wie im
> > > eindimensionalen anwenden? (offensichtlich schon?)
> >
> > Ja. Brauchst Du einen Satz (Skript) dazu?
> Also wenn du ein gutes (ausführliches) Analysis 2 Skript
> kennst, würde ich mich über einen Link freuen :)
Schau' Dir das Skript von unten (Satz 19.10) an. Das beinhaltet Analysis
I-III und Einführung in die Funktionentheorie (Analysis IV). Ich kann aber
gerne auch mal andere durchstöbern bzw. meine Festplatte
durchstöbern...
> > > 3. Frage: Wie hätte man die Aufgabe noch lösen können?
> >
> > Komplizierter (zeigen, dass die Definition der Diff'barkeit
> > im Punkte [mm]\textbf{0}[/mm]
> > "nicht greifen kann"). Obiges ist elegant!
> >
> > P.S. Ich sehe gerade: Eigentlich habe ich durchaus auch auf
> > einem anderen
> > Weg gezeigt, dass die Funktion in [mm]\textbf{0}[/mm] nicht
> > diff'bar ist. Beachte
> >
> > Satz 19.10
>
> >
> Indem du gezeigt hast dass es mind. einen Punkt [mm]x\in \mathbb{R}^n[/mm]
> gibt (also die Null) der in mind. einer Veränderlichen
> (Einheitsvektor-Richtung) (also in [mm]e_1[/mm]) nicht partiell
> diffbar ist?
Uh, was ist das denn für eine Ausdrucksweise? Die Richtungsableitung im
Punkt [mm] $\textbf{0}$ [/mm] in Richtung [mm] $e_1$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] ist doch gerade
[mm] $f_{x_1}(\textbf{0})\,,$
[/mm]
wir haben gesehen, dass diese nicht existiert. Wäre [mm] $f\,$ [/mm] diff'bar in [mm] $\textbf{0},$ [/mm] so
müßte sie gemäß des erwähnten Satzes 19.10 aber insbesondere existieren.
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ich danke dir vielmals für die ausführliche Antwort! :)
> Habe das ganze jetzt besser verstanden und viel wichtiger:
> den Vorteil einer Definition gegenüber Spekulation
> gesehen
>
> Eine zusätzliche Frage zur p-Norm habe ich noch.. bedeutet
> dass also dass ich bei den (2k)-Normen, also allen geraden
> Normen) auf den Betrag verzichten kann? Da [mm]|x|^{2k} = |x^{2k}| = |x^{k}|^2 = x^{2k}[/mm]
> und entsprechend für die ungeraden aber : [mm]|x|^{2k +1} = x^{2k} \cdot |x|[/mm]?
Ich versteh' die Frage nicht. Im [mm] $\IR^n$ [/mm] ist [mm] $\|.\|=\underbrace{\|.\|_2}_{=\|.\|_{2,n}} \colon \IR^n \to \IR$ [/mm] definiert durch
[mm] $\IR^n \ni [/mm] x [mm] \mapsto \|x\|:=\|.\|(x):=\sqrt{\sum_{k=1}^nx_k^2}\,.$
[/mm]
Und für $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist [mm] $x^{2k}=|x|^{2k}=|x^{2k}|\,,$ [/mm] und
[mm] $|x|^{2k+1}=|x|*|x^{2k}|=|x|*x^{2k}$
[/mm]
gilt auch für $k [mm] \in \IN_0\,.$ [/mm] In [mm] $\IC$ [/mm] müßtest Du für $z [mm] \in \IC$ [/mm] aufpassen, da ist i.a.
[mm] $z^k \not=|z|^k\,,$
[/mm]
selbst, wenn [mm] $k\,$ [/mm] gerade ist. Aber wir sind ja im [mm] $\IR^n\,,$ [/mm] nicht im [mm] $\IC^n\,.$
[/mm]
> Also muss ich mir nur bei den ungeraden Normen
Was sind ungerade Normen? Eine Norm [mm] $N\,$ [/mm] auf [mm] $\IR^n$ [/mm] ist eine Abbildung
$N [mm] \colon \IR^n \to \IR\,,$ [/mm] die gewisse Eigenschaften hat ($N(x)=0 [mm] \iff x=\textbf{0}\,,$
[/mm]
$N(x+y) [mm] \le N(x)+N(y)\,,$ [/mm] $N(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR^n$ [/mm] etc. pp.. Das
kennst Du sicher.)
Ich sehe keinen Sinn im Begriff "ungerade Norm." Dir geht es irgendwie um
Exponenten? Meinst Du vielleicht die Norm
[mm] $\|x\|_{k,n}:=\left(\sum_{m=1}^n {|x_m|}^k\right)^{1/k}$
[/mm]
auf [mm] $\IR^n$ [/mm] für gerade und ungerade [mm] $k\,$? [/mm] Also bspw.
[mm] $\|(1,-1,2,-2)^T\|_{3,4}=\sqrt[3]{|1|^3+|-1|^3+2^3+|-2|^3}$?
[/mm]
Ja, da könntest Du bspw. sowas wie [mm] $|-2|^3=|-2|*2^2$ [/mm] benutzen.
> um den
> Betrag gedanken machen (sofern [mm]x_i[/mm] nicht schon auf ein
> vorzeichen eingeschränkt ist)?
Frag' nochmal nach, wenn Du doch was anderes meinst. Mir ist Deine Frage
nicht so wirklich klar; also um was geht es Dir?
Gruß,
Marcel
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