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| Aufgabe | Zeigen Sie die Differenzierbarkeit der folgenden Funktionen und
bestimmen Sie deren Ableitung:
a) f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR, [/mm] f(x) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (x + [mm] |x|)\wurzel{|x|}
[/mm]
b) g : [mm] \IR+ [/mm] → [mm] \IR, [/mm] g(x) = [mm] x^{x},
[/mm]
c) h : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR, [/mm] h(x) = Arsinh(x). |
Hallo,
wie zeige ich nochmal richtig die Differenzierbarkeit von Funktionen?
Meine Ableitungen sähen so aus:
a) [mm] \bruch{1}{\wurzel{|x|}}
[/mm]
b) x * [mm] x^{x-1}
[/mm]
c) [mm] \bruch {1}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
Über Hilfe wäre ich sehr danbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Di 08.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Zeigen Sie die Differenzierbarkeit der folgenden Funktionen
> und
> bestimmen Sie deren Ableitung:
>
> a) f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR,[/mm] f(x) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] (x +
> [mm]|x|)\wurzel{|x|}[/mm]
> b) g : [mm]\IR+[/mm] → [mm]\IR,[/mm] g(x) = [mm]x^{x},[/mm]
> c) h : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR,[/mm] h(x) = Arsinh(x).
> Hallo,
>
> wie zeige ich nochmal richtig die Differenzierbarkeit von
> Funktionen?
> Meine Ableitungen sähen so aus:
>
> a) [mm]\bruch{1}{\wurzel{|x|}}[/mm]
> b) x * [mm]x^{x-1}[/mm]
> c) [mm]\bruch {1}{\wurzel{1+x^2}}[/mm]
Zu den Ableitungen kann ich was sagen:
a) [mm] f(x) = \bruch{1}{2} (x +|x|)*\wurzel{|x|}) = \bruch{1}{2}*(x*\wurzel{|x|}+ |x|*\wurzel{|x|}) [/mm]
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\wurzel{|x|}+ \bruch{x}{2*\wurzel{|x|}}+sgn(x)* \wurzel{|x|}+\bruch{|x|}{2*\wurzel{|x|}} \right)$
[/mm]
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\wurzel{|x|}+ sgn(x)*\bruch{\wurzel{|x|}}{2}+sgn(x)* \wurzel{|x|}+\bruch{1}{2}* \wurzel{|x|}\right)$
[/mm]
$f'(x) = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{3}{2}*\wurzel{|x|}+ sgn(x)*\bruch{3}{2}*\wurzel{|x|}\right)$
[/mm]
b) $f(x) = [mm] x^x [/mm] = [mm] e^{ln(x^x)} [/mm] = [mm] e^{x*ln(x)}$
[/mm]
$f'(x) = [mm] e^{x*ln(x)}*\left(ln(x)+x*\bruch{1}{x}\right) [/mm] = [mm] x^x*(1+ln(x))$
[/mm]
c) scheint mir richtig zu sein.
LG, Martinius
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Naja,
Differenzierbarkeit zeigt man eigentlich, indem man zeigt, dass der Limes
[mm] f'(x_{0}) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}}
[/mm]
existiert (im Klartext man sollte ihn berechnen können).
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Di 08.01.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
nach den Hinweisen von Martinius und steppenhahn ist nur noch folgendes anzumerken.
Man prüft in a.) am leichtesten die Differenzierbarkeit, indem man per Fallunterscheidung den Betrag auflöst. Beide Teilfunktionen sind dann auf ihrer offenen Definitionsmenge differenzierbar, was man leicht über die Standardregeln zeigt. Zu prüfen ist dann nur noch die Differenzierbarkeit auf der "Nahtstelle". Dort müssen dazu die Ableitungen der beiden Teilfunktionen übereinstimmen.
Gruß
Will
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