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| Aufgabe | Gegeben ist die Diffusionsgleichung
[mm] \bruch{\partial}{\partial t} P(x, t) = \bruch {\alpha}{2} \bruch{\partial^2}{\partial x^2} P(x, t) + \beta \bruch{\partial}{\partial x}x P(x, t) [/mm]
Aufgabe 1:
Zeigen Sie, dass die Gleichgewichtsverteilung (für verschwindenden Wahrscheinlichkeitsstrom)
[mm] P_{eq}(x)=\bruch{1}{\wurzel{2 \pi \Delta_{eq}}} exp\left(-\bruch{(x-\mu_{eq})^2}{2 \Delta_{eq}}\right) [/mm]
ist, und berechnen Sie Mittelwert und Varianz.
Aufgabe 2:
Die Anfangsverteilung zum Zeitpunkt t=0 sei eine Gaussverteilung mit Mittelwert [mm] \mu_0 [/mm] und varianz [mm] \Delta_0 [/mm] . Zeigen Sie, dass die zeitabhängige Lösung [mm] P_t(x) \equiv P(x, t) [/mm] der Diffusionsgleichung für t>0 eine Gaussverteilung ist, und berechnen Sie den zeitabhängigen Mittelwert und Varianz.
Hinweis: Gehen Sie davon aus, dass [mm] P(x, t_1) [/mm] zu gegebener Zeit [mm] t_1 [/mm] eine Gaussverteilung ist. Betrachten Sie einen kleinen Zeitschritt [mm]\delta t[/mm] und zeigen Sie, dass zum Zeitpunkt [mm] t_2 = t_1 + \delta t [/mm], P(x, [mm] t_2), [/mm] in erster Ordnung von [mm]\delta t [/mm], von der Form [mm] A(t_1) exp(B(x, t_1, t_2) [/mm] ist, wobei [mm] B(x, t_1, t_2) [/mm] quadratisch in x ist. B kann also als [mm] -(x-\mu (t_2))^2 / 2 \Delta(t_2)+C(t_1,t_2) [/mm] geschrieben werden. Drücken Sie [mm]\mu(t_2) [/mm] und [mm]\Delta(t_2) [/mm] als Funktionen von [mm]\mu(t_1) [/mm] und [mm]\Delta(t_1) [/mm] aus. Hieraus folgen Differentialgleichungen für [mm]\mu(t) [/mm] und [mm]\Delta(t) [/mm], die zu lösen sind. Überprüfen Sie, dass [mm]P(x, t_2) [/mm] korrekt normiert ist. |
Aufgabe 1 habe ich gelöst, denke ich, aber bei Aufgabe 2 komme ich kein Stück weiter. Egal wie ich hier die Gaussfunktion entwickle, ich komme nicht auf die geforderte Form und erst recht nicht auf eine Lösung für Mittelwert und Varianz. Kann mir jemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 28.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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