Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Flux |
Hi!
Ich habe mich nun mehrmals im Kreis gedreht und irgendwie versucht Dimensionen von Vektorräumen zu verstehen, aber eines bleibt mir noch verborgen:
Warum ist: dim( [mm] U_1 [/mm] geschnitten [mm] U_2) [/mm] + [mm] dim(U_1 [/mm] + [mm] U_2) [/mm] = dim [mm] U_1 [/mm] + dim [mm] U_2 [/mm] ?!?
Ist bestimmt ganz einfach, aber ich seh's nicht.
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:39 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Flux
ich versuche es mal mit ganz wenig Worten und wie bei mir meistens üblich nicht sehr mathematisch zu beschreiben.
Habe [mm] $U_{1}$ [/mm] die Dimension $m$, und [mm] $U_{2}$ [/mm] die Dimension $n$
[mm] $U_{1}+U_{2}$ [/mm] ist per Definition der Vektorraum, der durch die Vereinigungsmenge von [mm] $U_{1}$ [/mm] und [mm] $U_{2}$ [/mm] aufgespannt wird.
Versuche mal, eine Basis dieses aufgespannten Vektorraumes zu konstruieren, und zwar so, dass du zuerst Basisvektoren für den Untervektorraum konstruierst, die [mm] $U_{1} \cap U_{2}$ [/mm] erzeugen.
[mm] $U_{1} \cap U_{2}$ [/mm] habe die Dimension $k$, das heisst, du hast bis jetzt $k$ Basisvektoren, wobei $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] min(m,n)$ gilt.
Diese $k$ Vektoren kannst du einerseits zu einer Basis ergänzen, welche [mm] $U_{1}$ [/mm] erzeugt. Dazu sind noch $(m-k)$ Basisvektoren nötig.
(Ergänzung 1)
Die $k$ Basisvektoren kannst du aber auch zu einer Basis von [mm] $U_{2}$ [/mm] ergänzen. Dazu sind noch $(n-k)$ Basisvektoren nötig.
(Ergänzung 2)
Du musst hier noch überlegen, dass die drei Mengen
a) Die k zuerst konstruierten Vektoren;
b) die Erzänzung 1;
c) die Ergänzung 2;
je elementfremd zueinander sind. Daraus lässt sich leicht überlegen (vielleicht zeichnest du auch noch ein Venn-Diagramm dazu), dass sich die Dimension des Summenraumes berechnet zu
$k + (m-k) + (n-k) = m+n-k$.
Wenn du jetzt noch überlegst, dass die Dimension nichts anderes ist als die Anzahl der Basisvektoren, so kannst du deine Gleichung anhand der oben konstruierten Basismengen direkt 1 zu 1 übersetzen:
[mm] $dim(U_{1} \cap U_{2}) [/mm] + [mm] dim(U_{1} +U_{2}) [/mm] = [mm] dim(U_{1}) [/mm] + [mm] dim(U_{2}) [/mm] $
Also:
$k + (m+n-k) = m + n$ 
Das Ganze kannst du dir vielleicht auch noch durchlesen, indem du parallel zum Lesen noch eine Skizze machst, zum Beispiel mit [mm] $U_{1}$ [/mm] als Ebene im [mm] $\mathbb{R}^{3}$ [/mm] und auch mit [mm] $U_{2}$ [/mm] als Ebene im [mm] $\mathbb{R}^{3}$, [/mm] oder Varianten davon.
Falls dir diese reichlich unmathematische Antwort nicht genügt, dann frage bitte nochmals nach. Es lässt sich sicher jemand finden, der das auch noch ganz abstrakt zeigen kann! 
Mit lieben Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Flux |
Hey, super! Danke Paulus, das war super verständlich!! :)
Freu mich echt, dass ich diese Ecke hier gefunden hab.
Ich werd's danken, wenn ich mal as beantworten kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Mi 16.06.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Flux
> Hey, super! Danke Paulus, das war super verständlich!! :)
>
Danke für die Blumen! Ich bin nämlich 'nur' ein Hobbymathematiker und greife deshalb meistens auf Anschauliches zurück, worunter halt manchmal die mathematische Genauigkeit etwas leidet. Trotzdem denke ich, dass das Anschauliche eben auch ein bisschen dazugehört, weil dann der Groschen bisweilen eher fällt!
> Freu mich echt, dass ich diese Ecke hier gefunden hab.
> Ich werd's danken, wenn ich mal as beantworten kann.
>
![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]") Ja, das wäre schön! Ich habe nämlich so oder so einmal im Sinn, eine Frage hier hinein zu stellen, ich muss sie nur noch seriös vorbereiten. Dann kannst du dich sicher erkenntlich zeigen!
Mit lieben Grüssen
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