Dimension/Basis von: Bild und Kern < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich hab da eine Aufgabe (ohne Lösung) die viele wichtigen Fragen der lin Alg behandelt. Ich habe hier vorher etwas rumgelesen betreffend Kern/Bild und nun eine Vermutung der Lösung - bin aber alles andere als sicher. Wichtig ist, dass ich die Aufgabe nur mit dem Algorithmus von Gauss lösen kann/darf.
Danke für jede Hilfe!
Aufgabe:
Durch f(x) := Ax ist eine lineare Abbildung gegeben. Wobei A = [mm] \pmat{ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 9 & 10 } [/mm] .
Gesucht ist: - Dimension von Kern und Bild
- Basis von Kern und Bild
Mein Ansatz;
Ich hab ein kleines Durcheinander; worin liegt der Unterschied, ob ich den Kern über Ax=0 als homogenes LGS löse oder dessen Basis bestimme?
Meine Lösung ist die:
nach Spaltentausch
1 4 2 3
10 5 9 4
---------------
1 4 2 3
0 35 11 26
---------------
1 0 26/35 1/35
0 1 11/35 26/35
Die Allgemeine Lösung hat 2 Fundamentallösungen:
[mm] \pmat{ -26 \\ -11\\ 35 \\ 0 } [/mm] und [mm] \pmat{ -1 \\ -26 \\ 0 \\ 35 }
[/mm]
Daher Kern = { [mm] \pmat{ -26 \\ -11\\ 35 \\ 0 } [/mm] , [mm] \pmat{ -1 \\ -26 \\ 0 \\ 35 } [/mm] }
Dimension Kern = 2
Nach Dimensionsgleichung; dim Kern = n - dim Bild [mm] \Rightarrow [/mm] dim Bild = 2
Basis Bild = { [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] }
Was davon ist richtig? Kann mir jemand die korrekte Lösung vorlösen?
Was ist die Basis des Kerns und des Bildes? Wie findet man die Basen?
DANKE an alle die helfen!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:32 Di 31.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo taschenlampe,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Aufgabe:
> Durch f(x) := Ax ist eine lineare Abbildung gegeben. Wobei
> A = [mm]\pmat{ 4 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 4 & 9 & 10 }[/mm] .
> Gesucht ist: - Dimension von Kern und Bild
> - Basis von Kern und Bild
>
> Mein Ansatz;
>
> Ich hab ein kleines Durcheinander; worin liegt der
> Unterschied, ob ich den Kern über Ax=0 als homogenes LGS
> löse oder dessen Basis bestimme?
Hier stellt sich die Frage, wie du die Basis des Kerns (ohne Lösen eines homogenen LGS) bestimmst?
Aber selbst, wenn du an eine Berechnungsart für die Basis denkst, die ich jetzt vielleicht übersehe, so sind beide Vorgehensweisen äquivalent. Das wird dann vielleicht auch durch das folgende Beispiel deutlich:
> Meine Lösung ist die:
>
> nach Spaltentausch
>
> 1 4 2 3
> 10 5 9 4
> ---------------
> 1 4 2 3
> 0 35 11 26
> ---------------
> 1 0 26/35 1/35
> 0 1 11/35 26/35
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Allgemeine Lösung hat 2 Fundamentallösungen:
> [mm]\pmat{ -26 \\ -11\\ 35 \\ 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ -1 \\ -26 \\ 0 \\ 35 }[/mm]
Hier wäre wieder interessant, was du unter einer Fundamentallösung verstehst -- ich verstehe darunter einfach "Basiselement des Lösungsraumes", in diesem Fall also "Basiselement des Kerns".
> Daher Kern = [mm]\{ \pmat{ -26 \\ -11\\ 35 \\ 0 }[/mm] , [mm]\pmat{ -1 \\ -26 \\ 0 \\ 35 }\}[/mm]
Das stimmt formal nicht ganz, denn der Kern besteht natürlich nicht nur aus diesen beiden Vektoren, was du aber durch die gewählten Mengenschreibweise implizierst, sondern auch aus allen Linearkombinationen dieser beiden Vektoren (="Span"):
Besser also schreiben:
[mm]\Kern A = \left\langle \pmat{ -26 \\ -11\\ 35 \\ 0 },\pmat{ -1 \\ -26 \\ 0 \\ 35} \right\rangle[/mm]
> Dimension Kern = 2
> Nach Dimensionsgleichung; dim Kern = n - dim Bild
> [mm]\Rightarrow[/mm] dim Bild = 2
>
> Basis Bild = [mm]\{\vektor{0 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 0}\}[/mm]
Ja, das könnte man so schreiben, da das Bild der ganze Bildraum [mm] $\IR^2$ [/mm] ist und zwei beliebige linear unabhängige Vektoren eine Basis bilden.
(Und du hast ja geschrieben "Basis Bild" und nicht wie oben einfach "Bild", deswegen sind die Mengenklammern in Ordnung.)
Falls der Bildraum nicht maximal wäre, könntest du aus den Spaltenvektoren der Matrix eine Basis bestimmen, die dann eine Basis des Bildes wäre.
> Was davon ist richtig? Kann mir jemand die korrekte Lösung
> vorlösen?
Deine Lösung ist bereits korrekt 
> Was ist die Basis des Kerns und des Bildes? Wie findet man
> die Basen?
Auch die hast du bereits selbst bestimmt.
Wenn noch nicht alles deutlich geworden sein sollte, frage bitte nach 
Viele Grüße,
Marc
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Hi Marc!
Herzlichen Dank für die Antwort! Eigentlich dachte ich, dass ich nun soweit alles verstanden habe, aber ich scheitere an einem einfachen konstruierten Beispiel:
A = [mm] \pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 8 & 14}
[/mm]
f(x) := Ax
Offensichtlich;
1 4 7
2 8 14
---------
1 4 7
KERN:
kern f = span ( [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-7 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
Basis kern f = { [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{-7 \\ 0 \\ 1} [/mm] }
dim kern f = 2
BILD:
Die Abbildung bildet Elemente des [mm] \IR [/mm] ^{3} in den [mm] \IR [/mm] ^{2} ab.
dim [mm] \IR [/mm] ^{2} = 2 = dim Bild f
Aber der Rang von A, der ja = dim Bild sein sollte;
rg(A)=1
Und auch nach Dimensionsformel:
dim kern = 2 = 3- dim Bild [mm] \Rightarrow [/mm] dim Bild = 1
Ist nun dim Bild = 1 oder = 2 ?!?
Wo liegt mein Denkfehler?
Wie lautet die Basis des Bildes?
Danke schon mal!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Di 31.08.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Taschenlampe
> Hi Marc!
>
> Herzlichen Dank für die Antwort! Eigentlich dachte ich,
> dass ich nun soweit alles verstanden habe, aber ich
> scheitere an einem einfachen konstruierten Beispiel:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 4 & 7 \\ 2 & 8 & 14}
[/mm]
> f(x) := Ax
>
> Offensichtlich;
>
> 1 4 7
> 2 8 14
> ---------
> 1 4 7
>
> KERN:
>
> kern f = span [mm]\{\vektor{-4 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-7 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
> )
> Basis kern f = [mm]\{\vektor{-4 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{-7 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
>
> dim kern f = 2
>
> BILD:
>
> Die Abbildung bildet Elemente des [mm]\IR[/mm] ^{3} in den [mm]\IR[/mm] ^{2}
> ab.
Beachte aber bitte des Wort in. Das bedeutet, dass nicht unbedingt jedes Element von [mm] $\IR [/mm] ^2$ ein Urbild haben muss!
> dim [mm]\IR[/mm] ^{2} = 2 = dim Bild f
>
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hier liegt dein Fehler. $dim [mm] \IR [/mm] ^{2} = 2$ ist zwar richtig, aber der Rest der Gleichung nicht!
Das Bild ist eindimensional! Das kannst du in diesem einfachen Fall anschaulich auch so überlegen: Ein Vektor mit den Koordinaten $(x,y,z)$ wird auf den Vektor $(x+4y+7z,2x+8y+14z)$ abgebildet. Offensichtlich ist hier die 2. Koordinate gerade das doppelte der ersten Koordinate. Der Vektor [mm] $\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ [/mm] bildet also eine Basis des Bildes von $f$!
>
> Aber der Rang von A, der ja = dim Bild sein sollte;
>
> rg(A)=1
>
> Und auch nach Dimensionsformel:
>
> dim kern = 2 = 3- dim Bild [mm]\Rightarrow[/mm] dim Bild = 1
>
> Ist nun dim Bild = 1 oder = 2 ?!?
> Wo liegt mein Denkfehler?
>
> Wie lautet die Basis des Bildes?
>
Ist galaube ich jetzt alles beantwortet?
Mit lieben Grüssen
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Wow, danke!
Jetzt sehe ich meinen Fehler - Vielen herzlichen Dank Paulus!
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