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| Aufgabe | Sei ein LGS mit 5 Gleichungen und 8 Variablen geg., das mindestens eine Lösung besitzt. Was kann man über die Dimesion d des Lösungsraumes sagen?
a) d [mm] \ge [/mm] 3
b) d = 3
c) d [mm] \le [/mm] 3
d) d = 5
e) Es lässt sich keine allgemeine Aussage treffen. |
Hallo zusammen,
hab ein kleines Problem mit dieser Aufgabe.
Meine Gedanken dazu:
(b)(c)(d) können meiner Meinung nach nicht gelten, denn angenommen man bringe das LGS auf Zeilenstufenform und es entstünden 4 Null-Zeilen, so könnte die Dimension des Lösungsraum ja auch 8 sein, oder?
zu (a) glaube ich, dass das stimmt, denn angenommen alle Zeilen sind linear unabhängig, so hätte man ja nach dem Bringen auf Zeilenstufenform ja mindestens 3 variablen durch beispielsweise s,t,r zu ersetzten und dann wäre die dimension des Lösungsraums ja schonmal mindestens 3.
Oder lieg ich mit meinen Gedankengängen ganz falsch und (e) ist richtig??
Hoffe jemand von Euch bringt mir Licht ins Dunkle.
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:40 Fr 29.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
> Sei ein LGS mit 5 Gleichungen und 8 Variablen geg., das
> mindestens eine Lösung besitzt. Was kann man über die
> Dimesion d des Lösungsraumes sagen?
also du hast eine Abbildung von [mm] K^8 [/mm] nach [mm] K^5
[/mm]
(deine Variablen sollen wohl aus einem Körper K sein, oder?)
sei A eine darstellende Matrix des Gleichungssystems, dann ist also A eine 5x8 Matrix und gesucht ist die Dimension des Lösungsraumes zu:
A*x=b
(wobei man weiß, dass es mindestens eine Lösung gibt!)
> Meine Gedanken dazu:
>
> (b)(c)(d) können meiner Meinung nach nicht gelten, denn
> angenommen man bringe das LGS auf Zeilenstufenform und es
> entstünden 4 Null-Zeilen, so könnte die Dimension des
> Lösungsraum ja auch 8 sein, oder?
also du hast recht, der Lösungsraum könnte Dimension 8 haben
(Nullabbildung und b=0 zum beispiel)
d.h. d=3 und d=5 gilt im Allgemeinen nicht (also nicht immer), aber es kann durchaus sein, dass d=3 und d=5 ist (es MUSS nur nicht)
>
> zu (a) glaube ich, dass das stimmt, denn angenommen alle
> Zeilen sind linear unabhängig, so hätte man ja nach dem
> Bringen auf Zeilenstufenform ja mindestens 3 variablen
> durch beispielsweise s,t,r zu ersetzten und dann wäre die
> dimension des Lösungsraums ja schonmal mindestens 3.
die Überlegung ist zwar richtig, aber hier fehlen die zwingenden Argumente - ein algorithmisches Vorgehen ist meist sehr schwierig zu beweisen...
> Oder lieg ich mit meinen Gedankengängen ganz falsch und (e)
> ist richtig??
die Aussage von e) ist ja wohl keine saubere Aussage..
eine "allgemeine Aussage" wäre beispielsweise : "der Lösungsraum ist nicht leer" (und das ist vorausgesetzt)
außerdem ist a) ja auch richtig und dies ist eine allgemeine Aussage...
kommen wir aber mal zu der Begründung von a)
angenommen du weißt, dass der Vektor v im Kern liegt, also A*v=0
und du weißt, dass x' eine Lösung von A*x=b ist
(eine Lösung wird ja vorrausgesetzt)
dann ist auch (x'+v) eine Lösung !
(warum ?!?)
also ist die Dimension des Lösungsraumes mindestens so groß wie die Dimension des Kernes!
andererseits : seien [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zwei Lösungen des Systems A*x=b, dann liegen [mm] $(x_2-x_1)$ [/mm] und [mm] $(x_1-x_2)$ [/mm] im Kern.
(warum ?!?)
also kann man jede Lösung des Lösungsraumes darstellen als (x'+v) wobei x' die vorausgesetzte Lösung ist und v eine Vektor aus dem Kern.
D.h die Dimension des Lösungsraumes IST GLEICH der Dimension des Kernes!!
So, es läuft also alles wieder darauf hinaus, wie groß der Kern sein kann (also mindestens und höchstens)
dies wäre dann eine allgemeine Abschätzung zur Dimension des Lösungsraumes.
Was kannst du also anhand der Dimensionsformel sagen?
(du weißt, dass das Bild höchstens 5-dimensional sein kann und mindestens 0-dimensional beim Nullraum)
viele Grüße
DaMenge
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Danke für deine ausführliche Hilfe!
> Was kannst du also anhand der Dimensionsformel sagen?
> (du weißt, dass das Bild höchstens 5-dimensional sein kann
> und mindestens 0-dimensional beim Nullraum)
[mm] \Rightarrow [/mm] 3 [mm] \le [/mm] dim Ker(f) [mm] \le [/mm] 8 ,
da dim (Lösungsraum) = dim Ker(f) gilt somit auch für die Dimesion des Lösungsraums: 3 [mm] \le [/mm] dim Lösungsraum [mm] \le [/mm] 8
[mm] \Rightarrow [/mm] Antwort (a) st die einzig zutreffende Aussage.
Hab ich das jetzt richtig verstanden?
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Fr 29.12.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] 3 [mm]\le[/mm] dim Ker(f) [mm]\le[/mm] 8 ,
>
> da dim (Lösungsraum) = dim Ker(f) gilt somit auch für die
> Dimesion des Lösungsraums: 3 [mm]\le[/mm] dim Lösungsraum [mm]\le[/mm] 8
das ist richtig !
Aber du solltest wirklich versuchen zu verstehen, warum die Dimensionen übereinstimmen und wie der Kern den Lösungsraum "erzeugt"
(ausgehend von einer gegebenen Lösung)
Man bestimmt nämlich im allgemeinen nicht umsonst zuerst eine Lösung des homogenen Gl.sys (also den Kern) und dann noch EINE lösung des inhomogenen Gl.sys.
(aber ich will dir nicht unterstellen ,dass du es nicht verstanden hättest - ich will nur nochmal auf die Wichtigkeit hinweisen)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Antwort (a) st die einzig zutreffende Aussage.
naja, (e) ist ja ziemlich komisch formuliert - also wenn (e) meint : man kann die Dimension d nicht als eine Zahl angeben, dann stimmt e) auch...
(aber so wie e) da steht, würde ich auch sagen, dass e) falsch ist)
EDIT: die aussage e) ist vor allem auch selbst-verweisend, wenn die "allgemeine Aussage" e) wahr wäre, könnte e) nicht wahr sein...
(also wörtlich gesehen muss e) schon falsch sein)
viele Grüße
DaMenge
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