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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 15.01.2008 | | Autor: | wolle238 |
| Aufgabe | Sei [mm] A \in M_n (K)[/mm], K Körper. Bestimme die Dimension von K[A] in den folgenden Fällen:
a) n beliebig und [mm]A = E_n[/mm].
b) n = 2 und [mm] A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
[/mm]
c) n = 3 und [mm] A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. [/mm] |
Hallo!!
Wie die Aufgabe schon sagt, soll ich die Dimension der verschiedenen Matritzen berechnen.... Aber irgendwie stehe ich grad aufm Schlauch...
Ich hab jetzt schon öfters nachgeguckt, wie die Dimension berechnet wird. Überall steht nur irgendwie: Die Dimension ist gleich dem Zeilen- / Spaltenrang. Aber wenn das so wäre, macht doch die Aufgabe mal keinen Sinn, oder sehe ich das falsch???
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!!
Gruß, Julia
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Wie die Aufgabe schon sagt, soll ich die Dimension der verschiedenen Matritzen berechnen
Hallo,
an dieser Stelle gibt es bereits das erste Mißverständnis.
Was sollte das sein, die "Dimension der verschiedenen Matrizen"?
Vektorräume haben ein Dimension, aber doch nicht Matrizen.
Du sollst auch nicht die Dimension v. Matrizen bestimmen, sondern die Dimension des Raumes K[A].
Ich scheue mich etwas, hierzu was zu sagen, weil ich nicht weiß, wie Ihr ihn definiert habt. Ich möchte nicht unnötig Staub aufwirbeln.
Wie habt Ihr K[A] definiert?
Jedenfalls ist K[A] ein Vektorraum, dessen Elemente, also Vektoren, Matrizen sind, folglich besteht seine Basis aus Matrizen, und welche Basis das im einzelnen ist, wird davon abhängen, für welches der drei zur Verfügung stehenden Matrizen A man den Raum K[A] betrachtet.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Hallo Angela!
Da ich gerade ebenfalls an dieser Aufgabe hänge, und hier schon seit 20 Std. nix mehr passiert ist, schreibe ich mal hin, wie K[A] bei uns im Buch definiert ist:
Ist R eine beliebige K-Algebra und A ein Element aus R, so bezeichnen wir mit K[A] das Bild des zu A gehörigen Einsetzungshomomorphismus (wasn Wort!) [mm] \phi:K[X] \to [/mm] R. Die Elemente von K[A] sind die sämtlichen Polynomausdrücke [mm] a_0A^0+a_1A^1+ [/mm] ... + [mm] a_nA^n [/mm] mit Koeffizienten [mm] a_i [/mm] in K; n ist dabei eine beliebige ganze Zahl [mm] \geq [/mm] 0. Mit K[X] ist auch K[A] eine kommutative K-Algebra.
Das ist zumindest das einzige, was dazu nun im Script (was quasi dem Buch entspricht) steht. Ich hoffe, dass das in diesem Kontext überhaupt das gleiche ist!?
Könntest du vll. noch nen Hinweis geben, wie man an die Aufgabe ranzugehen hat?
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> Die
> Elemente von K[A] sind die sämtlichen Polynomausdrücke
> [mm]a_0A^0+a_1A^1+[/mm] ... + [mm]a_nA^n[/mm] mit Koeffizienten [mm]a_i[/mm] in K;
Hallo,
K[A] besteht also aus Matrizen, die in einer gewissen Art und Weise gemacht sind.
Als Vektorraum über K betrachtet hat K[A] das Erzeugendensystem [mm] (A^0, A^1,A^2, A^3, [/mm] ... ).
Die Frage nach der Dimension ist die Frage nach einer Basis.
Es obliegt Dir nun darüber nachzudenken, wie die Elemente von K[A] gemacht sind, und ob Du vielleicht eine endliche Menge von lin. unabh. Matrizen finden kannst, mit denen Du K[A] erzeugen kannst (also eine Basis).
Ein Wörtchen noch zur linearen Abhängigkeit: die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier Matrizen.
Das bedeutet, daß bei der Prüfung auf lineare Abhängigkeit, z.B. von C auf der rechten Seite die Nullmatrix steht, das wird nämlich gern falsch gemacht: [mm] aA+bA^5+cA^9= [/mm] Nullmatrix.
Ich hoffe, daß Ihr nun ein bißchen weitermachen könnt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Also ich kann mir momentan leider absolut garnicht vorstellen, wie die Elemente auszusehen haben.
Könnten wir das ganze vll. an einem Beispiel einmal durchgehen? Es muss ja nicht unbedingt eines der Aufgaben sein, die oben angegeben sind. Aber ich wüsste echt nicht, wie ich da jetzt ansetzen soll.
Die Elemente einer Basis sind ja gleich der Dimension des Vektorraumes. Das Problem ist echt, dass ich mir garnicht vorstellen kann, wie z.b. [mm] K[\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }] [/mm] aussehen soll. Ich habe in der Hinsicht auch leider keine weiterführende Lektüre gefunden, bzw. wüsste garnicht, wonach ich da noch groß suchen soll.
Weiß ja nicht, ob das nur mir so geht. Aber das ist jetzt echt ziemlich harter Tobak :/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warum nicht mit der einfacheren matrix anfangen.
also
A= $ [mm] \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. [/mm] $
jetzt bilde [mm] A^2, A^3 [/mm] erstmal soweit. dann probiere ob du ne Kombination [mm] r1*A+r2*A^2+r3*A^3= $ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. [/mm] $
findest.
dann sind [mm] A,A^2, [/mm] ne Basis. und der Raum hat dim=2
wenn nicht, probiers bis [mm] A^4, [/mm] usw.
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Also in diesem Fall wäre es dann ja so:
A= [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }
[/mm]
[mm] A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Jetzt muss ich also ein Polynom finden, für das gilt [mm] a_1A^1 [/mm] + [mm] a_1A^1 [/mm] + ... [mm] +a_nA^n [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }?
[/mm]
Was ist eigentlich mit dem [mm] A^0 [/mm] ? Muss ich das nicht berücksichtigen? Und wieso ist bei [mm] r1\cdot{}A+r2\cdot{}A^2+r3\cdot{}A^3= \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] die Basis A, [mm] A^2 [/mm] ?
Ich glaube ich habe da wirklich was essenzielles nicht verstanden :(
Mit nem "einfachen" LGS lässt sich das aber auch nicht lösen, oder?
Fragen über Fragen. Ich hoffe, mir kann noch geholfen werden. Wäre echt töfte :)
Danke aber auf jeden Fall schonmal!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Übrigens... Ich denke, dass
$1A + [mm] (-2)A^2 [/mm] + [mm] 1A^3 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $ist, denn
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 0 & 2 } [/mm] + [mm] \pmat{ 1 & 3 \\ 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
Aber wieso deswegen nun $A, [mm] A^2$ [/mm] eine Basis sein soll, verstehe ich leider immernoch nicht, weshalb mir das auch schwerfällt, das auf die anderen beiden Aufgabenteile zu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:48 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
A und [mm] A^2 [/mm] sind lin unabh. denn [mm] A^2\ne [/mm] r*A
[mm] A;A^2,A^3 [/mm] sind wie du gezeigt hast lin Abhängig,
(dann auch [mm] A^4, ..A^n, n\ge [/mm] 3. also kannst du alle Linearkomb. von [mm] A^n [/mm] durch Linearkomb. von A und [mm] A^2 [/mm] darstellen.
die [mm] A^n [/mm] sind aber hier Elemente des VR K(A)
wenn ich alle Elemente eines VR durch zwei "Basisvektoren" darstellen kann ist der VR 2d!
Wenn du gewöhnliche Vektoren hast und nach dem VR gefragt wirst, den sie Aufspannen und seiner dim. wie gehst du dann vor? Du suchst doch auch die Zahl der lin. unabhängigen!
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Okay! Das leuchtet mir ein!!
Aber wie sieht es denn dann bei $A = [mm] E_n$ [/mm] aus? Ist da die Dimension immer = 1, weil [mm] E_n^2, E_n^3... [/mm] immer = [mm] E_n [/mm] ist? Ob das als Argumentation auch ausreicht?
Bei der Matrix aus c) muss ich auch nochmal genau prüfen.
Aber ich danke dir schonmal richtig für deine Hilfe!"
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, da [mm] E_n^k=E_n [/mm] für alle k ist die Dim 1 das gehört zur Begründung dazu
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:30 Mi 16.01.2008 | | Autor: | daN-R-G |
Cool :) Das klingt ja schonmal beruhigend.
Wenn die Dimension bei c) jetzt auch noch 2 sein könnte, dann habe ich das glaube ich verstanden.
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] A^2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] A^n [/mm] für n [mm] \geq [/mm] 3 = (0)
Dann wäre doch eine Basis von diesem Vektorraum A, [mm] A^2 [/mm] und die Dimension ebenfalls 2. Ab [mm] A^3 [/mm] kommt ja immer die Nullmatrix raus, und diese Tragen dann zu dem ergebnis ja nie was dabei.
Meine Argumentation ist natürlich eher schlecht als recht, aber ich glaube, das bekomme ich auch noch irgendwie in einen formalen Rahmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:28 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Esswurm |
Kurzum: Mache Zeilenoperationen so daß du die Matrix in Dreicksgestalt bringst dann kannst du den Rang der Matrix ablesen.
Bild (Matrix) = SR(Matrix) => dim(Bild(Matrix)) = dim(SR(Matrix))= Spaltenrang Matrix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Cer |
Aber die Matrizen haben doch schon Dreiecksgestalt oder meinst du jetzt was anderes. Die Einheitsmatrix ist ja auch in Dreiecksgestalt.
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s. meine Antwort an daN-R-G .
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mi 16.01.2008 | | Autor: | Esswurm |
Ich wollte nur allgemein sagen wie das gemacht wird. Im ürigen ist es so daß bei Zeilenoperationen der Spaltenraum nicht immer der gleiche bleibt. Die anderen Sachen wie Zeilenraum oder rang bleiben.
a) rang = n => dim SR = n bei der Einheitsmatrix sieht man ja welche Vektoren l.u. sind dementsprechend sieht man natürlich hier auch gleich wie groß die Dimension des aufgespannten Raumes ist.
b) rang = 1 => dim Spaltenrang = dim Zeilenrang 1
c) rang = 2 => dim Spaltenrang = dim Zeilenrang 2
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> Kurzum: Mache Zeilenoperationen so daß du die Matrix in
> Dreicksgestalt bringst dann kannst du den Rang der Matrix
> ablesen.
>
> Bild (Matrix) = SR(Matrix) => dim(Bild(Matrix)) =
> dim(SR(Matrix))= Spaltenrang Matrix
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast die Aufgabe entweder nicht richtig gelesen oder nicht richtig verstanden.
Es geht hier nicht um den Rang von Matrizen, sondern um die Dimension des Raumes K[A], die Dimension eines Raumes, dessen Elemente Matrizen sind.
Gruß v. Angela
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