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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:20 Di 21.02.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Wieviele 1-dimensionalen Teilräume besitzt der [mm] \IZ_2 [/mm] Vektorraum [mm] (\IZ_2)^3? [/mm] |
Hei,
Meine " Überlegungen":
[mm] \IZ_2 [/mm] ={0,1}
[mm] |\IZ_2|=2
[/mm]
[mm] (\IZ_2)^3 [/mm] = [mm] \IZ_2 \times \IZ_2 \times \IZ_2
[/mm]
[mm] dim(\IZ_2) [/mm] = 1
[mm] \IZ_2 [/mm] besteht aus allen Spaltenvektoren mit 1 Zeile, deren Einträge aus [mm] \IZ_2 [/mm] sind. Für die Zeile gibt es 2 möglichkeiten.
Kann mir wer einen Tipp geben?
Danke,lg
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> Wieviele 1-dimensionalen Teilräume besitzt der [mm]\IZ_2[/mm]
> Vektorraum [mm](\IZ_2)^3?[/mm]
> Hei,
> Meine " Überlegungen":
> [mm]\IZ_2[/mm] ={0,1}
> [mm]|\IZ_2|=2[/mm]
> [mm](\IZ_2)^3[/mm] = [mm]\IZ_2 \times \IZ_2 \times \IZ_2[/mm]
>
> [mm]dim(\IZ_2)[/mm] = 1
> [mm]\IZ_2[/mm] besteht aus allen Spaltenvektoren mit 1 Zeile, deren
> Einträge aus [mm]\IZ_2[/mm] sind. Für die Zeile gibt es 2
> möglichkeiten.
>
> Kann mir wer einen Tipp geben?
Hallo,
mir ist gar nicht klar, was genau Du jetzt wissen willst.
Welches sind denn die Elemente aus [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] und [mm] (\IZ_2)^3?
[/mm]
Eigentlich denke ich, daß es Dir klar ist, aber ich sag's sicherheitshalber doch: [mm] (\IZ_2)^n [/mm] ist ein Spaltenvektor mit n Einträgen, die aus dem [mm] \IZ_2 [/mm] kommen.
Welche Elemente aus [mm] (\IZ_2)^3 [/mm] können Basis eines eindimensionalen Unterraumes sein?
Nun mußt Du noch herausfinden, ob irgendwelche von denen denselben Raum aufspannen.
LG Angela
> Danke,lg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Di 21.02.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] (\IZ_2)^n [/mm] $ ist ein Spaltenvektor mit n Einträgen, die aus dem $ [mm] \IZ_2 [/mm] $ kommen
Jap klar
[mm] (\IZ_2)^3 [/mm] ist dann ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen, die aus dem $ [mm] \IZ_2 [/mm] $ kommen
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\0},\vektor{1 \\ 1 \\1},\vektor{0 \\ 1\\0},\vektor{1 \\ 0 \\0},\vektor{0 \\ 0 \\1},\vektor{1\\ 1 \\0},\vektor{0 \\ 1 \\1},\vektor{1 \\ 0 \\1} [/mm] müssten sie seien.
>W elche Elemente aus $ [mm] (\IZ^3)_2 [/mm] $ können Basis eines eindimensionalen Unterraumes sein?
Warum schreibst du das immer andersrum, als es in der angabe steht'?
> Nun mußt Du noch herausfinden, ob irgendwelche von denen denselben Raum aufspannen.
Ist mir leider nicht ganz klar.
Ich muss ja die 1-dimensionalen Teilräume finden.
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> [mm](\IZ_2)^3[/mm] ist dann ein Spaltenvektor mit 3 Einträgen, die
> aus dem [mm]\IZ_2[/mm] kommen
>
> [mm]\vektor{0 \\
0 \\
0},\vektor{1 \\
1 \\
1},\vektor{0 \\
1\\
0},\vektor{1 \\
0 \\
0},\vektor{0 \\
0 \\
1},\vektor{1\\
1 \\
0},\vektor{0 \\
1 \\
1},\vektor{1 \\
0 \\
1}[/mm]
> müssten sie seien.
Hallo,
ja, genau, diese 8 Vektoren sind es.
>
> >W elche Elemente aus [mm](\IZ^3)_2[/mm] können Basis eines
> eindimensionalen Unterraumes sein?
> Warum schreibst du das immer andersrum, als es in der
> angabe steht'?
Wg. Tippfehler. Ich kann das grad nicht ändern, weil wer anders meinen Artikel bearbeitet - vermutlich, um genau diese Panne auszumerzen.
> > Nun mußt Du noch herausfinden, ob irgendwelche von
> denen denselben Raum aufspannen.
> Ist mir leider nicht ganz klar.
> Ich muss ja die 1-dimensionalen Teilräume finden.
Ja, und? Ein eindimensionaler Teilraum hat einen Vektor als Basis.
Welche Vektoren kommen denn als Basis infrage? Oder anders gefragt: welcher von denen kommt nicht infrage?
Wenn Du die möglichen Basen der eindimensionalen teilräume gelistet hast, kannst Du ja mal überlegen, welche Vektoren in dem jeweiligen Teilraum enthalten sind.
Und dann guckst Du nach, ob es zwei Teilräume dabei sind, die dieselben Elemente enthalten, denn Du sollst ja sagen ,wieviele verschiedene 1-dimensionale Teilräume es gibt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:06 Mi 22.02.2012 | | Autor: | sissile |
Ich weiß nicht, ich komme da irgendwie nicht weiter!
> Welche Vektoren kommen denn als Basis infrage? Oder anders gefragt: welcher von denen kommt nicht infrage?
Wie sehe ich das?
Mir ist schon klar, das eine Basis ein linear unabhängiges Erzeugnis ist. aber da stehe ich grade am schlauch
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> Ich weiß nicht, ich komme da irgendwie nicht weiter!
>
> > Welche Vektoren kommen denn als Basis infrage? Oder anders
> gefragt: welcher von denen kommt nicht infrage?
> Wie sehe ich das?
> Mir ist schon klar, das eine Basis ein linear
> unabhängiges Erzeugnis ist.
Hallo,
das ist falsch.
Eine Basis ist eine linear unabhängiges Erzeugendensystem.
> aber da stehe ich grade am
> schlauch
Naja, dann mußt Du ja nur das Wasser anstellen - hoffentlich gibt es irgendwo einen Wasserhahn...
Wenn der Unterraum die Dimension 1 haben soll, besteht die Basis doch nur aus einem Element, und da Dein Raum so wenig Elemente hat, ist die Sache übersichtlich.
Hast Du denn, wie ich Dir riet, jeweils mal das Erzeugnis eines jeden Vektors aufgeschrieben?
Wenn ja: was hast Du denn bekommen?
Wenn nein: warum nicht?
Gehen wir mal kurz in den [mm] \IR^3, [/mm] welcher Dir vertraut sein wird.
Ist Dir klar, daß hier jeder Vektor mit Ausnahme eines einzigen einen eindimensionalen UVR erzeugt?
Z.B. sind [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] und [mm] \vektor{3\\4\\5} [/mm] und [mm] \vektor{3\\6\\9} [/mm] jeweils Basen eines eindimensionalen Unterraumes.
Welches sind die Elemente dieser Unterräume?
Siehst Du, daß der erste und dritte vektor denselben Unterraum aufspannen?
Welches ist der Vektor des [mm] \IR^3, [/mm] der nicht basis eines eindimensionalen UVRes ist? Welche Elemente sind in dem von ihm aufgespannten Raum?
Wenn Du Dir das klarmachst, wirst Du die Lösung für Deine Aufgabe schnell finden.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | sissile |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Hast Du denn, wie ich Dir riet, jeweils mal das Erzeugnis eines jeden Vektors aufgeschrieben?
> Wenn ja: was hast Du denn bekommen?
<$ \vektor{0 \\ 0 \\ 0}> =\{\lambda *$ \vektor{0 \\ 0 \\ 0}| \lambda \in \IR
Von$ \{ \vektor{0\\0\\0} \} $ kommt als Erzeugendensystem nur der Nullpunkt selbst in Frage, aber dieser ist nicht linear unabhängig. Also ist die Basis leer.
<\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> =\{s*\vektor{1\\ 1 \\ 1}| s \in \IR\}
<\vektor{0 \\ 1\\ 0}>=\{k*\vektor{0\\ 1 \\ 0}| k \in \IR\}
>\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> =\{u*\vektor{1\\ 0 \\ 0}| u \in \IR\}
<\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>=\{w*\vektor{0\\ 0 \\ 1}| w \in \IR\}
<\vektor{1\\ 1 \\ 0}>=\{e*\vektor{1\\ 1 \\ 0}| e \in \IR\}
<\vektor{0 \\ 1 \\ 1}>=\{t*\vektor{0\\ 1 \\ 1}| t \in \IR\}
<\vektor{1 \\ 0 \\ 1}>=\{z*\vektor{1\\ 0 \\ 1}| z \in \IR\}
> Welches ist der Vektor des $ \IR^3, $ der nicht basis eines eindimensionalen UVRes ist? Welche Elemente sind in dem von ihm aufgespannten Raum?
Nullvektor. Elemente \vektor{0\\0\\0} und Leere Menge
> Wenn Du Dir das klarmachst, wirst Du die Lösung für Deine Aufgabe schnell finden
Also 7 als Antwort der Aufgabenstellung?
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Hallo sissile,
> > Hast Du denn, wie ich Dir riet, jeweils mal das Erzeugnis
> eines jeden Vektors aufgeschrieben?
> > Wenn ja: was hast Du denn bekommen?
> <[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}> =\{\lambda *[/mm] [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}| \lambda \in \IR[/mm]
>
> Von[mm] \{ \vektor{0\\0\\0} \}[/mm] kommt als Erzeugendensystem nur
> der Nullpunkt selbst in Frage, aber dieser ist nicht linear
> unabhängig. Also ist die Basis leer.
> [mm]<\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> =\{s*\vektor{1\\ 1 \\ 1}| s \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\ 1\\ 0}>=\{k*\vektor{0\\ 1 \\ 0}| k \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]>\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> =\{u*\vektor{1\\ 0 \\ 0}| u \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>=\{w*\vektor{0\\ 0 \\ 1}| w \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{1\\ 1 \\ 0}>=\{e*\vektor{1\\ 1 \\ 0}| e \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\ 1 \\ 1}>=\{t*\vektor{0\\ 1 \\ 1}| t \in \IR\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{1 \\ 0 \\ 1}>=\{z*\vektor{1\\ 0 \\ 1}| z \in \IR\}[/mm]
>
>
> > Welches ist der Vektor des [mm]\IR^3,[/mm] der nicht basis eines
> eindimensionalen UVRes ist? Welche Elemente sind in dem von
> ihm aufgespannten Raum?
> Nullvektor. Elemente [mm]\vektor{0\\0\\0}[/mm] und Leere Menge
>
> > Wenn Du Dir das klarmachst, wirst Du die Lösung für Deine
> Aufgabe schnell finden
> Also 7 als Antwort der Aufgabenstellung?
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mi 22.02.2012 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank MathePower für die Korrektur und angela.h.b für die vielen Tipps zur Lösung
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 Do 23.02.2012 | | Autor: | SEcki |
> [mm]<\vektor{1 \\
1 \\
1}> =\{s*\vektor{1\\
1 \\
1}| s \in \IR\}[/mm]
[m]s\in\IR[/m]?! Du hast vielleicht die Loesung (7) richtig, aber das war es auch schon. Die Elemente der Unterraeume hast du nicht angegeben, sprich: du hast angelas Vorschlaege noch nicht ganz angenommen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Do 23.02.2012 | | Autor: | sissile |
Ich hab doch angelas Fragen beantwortet, ich weiß nicht, was da noch fehlen sollte.
> > $ [mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> =\{s\cdot{}\vektor{1\\ 1 \\ 1}| s \in \IR\} [/mm] $
Was soll da falsch sein? Der Vektor [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] spannt den Teilraum auf
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> Ich hab doch angelas Fragen beantwortet, ich weiß nicht,
> was da noch fehlen sollte.
Hallo,
ich hatte zuvor versucht, Dich zu motivieren, mal aufzuschreiben, welche Vektoren beispielsweise in [mm] $<\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> [/mm] $ enthalten sind. Damit meinte ich, daß Du die Vektoren mal aufzählst - ich hielt das für lehrreich, insbesondere im Zusammenhang mit dem Beispiel aus dem [mm] \IR^3.
[/mm]
>
> > > [mm]<\vektor{1 \\
1 \\
1}> =\{s\cdot{}\vektor{1\\
1 \\
1}| s \in \IR\}[/mm]
>
> Was soll da falsch sein? Der Vektor [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] spannt den Teilraum auf .
[mm] s\in \IR [/mm] ist falsch, denn wir bewegen uns doch im [mm] \IZ_2-Vektorraum (\IZ_2)[/mm] [mm]^3[/mm].
Dein Teilraum ist viel zu groß! "7" ist aber trotzdem die Antwort, die Du ankreuzen müßtest - falls es Dir nur darauf ankommt.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Do 23.02.2012 | | Autor: | sissile |
nein mir ist die Lösung an sich nicht so wichtig, da es sich um kein Bsp für eine Übung handelt, sondenr um Übungsbeispiele für mich.
> $ [mm] s\in \IR [/mm] $ ist falsch, denn wir bewegen uns doch im $ [mm] \IZ_2-Vektorraum (\IZ_2) [/mm] $ $ ^3 $.
> Dein Teilraum ist viel zu groß!
Achso ja!!
$ [mm] <\vektor{1 \\ 1 \\ 1}> =\{s\cdot{}\vektor{1\\ 1 \\ 1}| s \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] <\vektor{0 \\ 1\\ 0}>=\{k\cdot{}\vektor{0\\ 1 \\ 0}| k \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] >\vektor{1 \\ 0 \\ 0}> =\{u\cdot{}\vektor{1\\ 0 \\ 0}| u \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] <\vektor{0 \\ 0 \\ 1}>=\{w\cdot{}\vektor{0\\ 0 \\ 1}| w \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] <\vektor{1\\ 1 \\ 0}>=\{e\cdot{}\vektor{1\\ 1 \\ 0}| e \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] <\vektor{0 \\ 1 \\ 1}>=\{t\cdot{}\vektor{0\\ 1 \\ 1}| t \in \IZ_2\} [/mm] $
$ [mm] <\vektor{1 \\ 0 \\ 1}>=\{z\cdot{}\vektor{1\\ 0 \\ 1}| z \in \IZ_2\} [/mm] $
also vom ersten wären die Elemente:
[mm] \vektor{0\\ 0 \\ 0},\vektor{1\\ 1 \\ 1}
[/mm]
vom zwieten wären die Elemente:
[mm] \vektor{0\\ 1\\ 0},\vektor{0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
vom dritten wären die Elemente:
[mm] \vektor{1\\ 0\\ 0},\vektor{0\\ 0 \\ 0}
[/mm]
Also überall ist der 0-Vektor und noch ein anderer Vektor enthalten.
Wolltesdt du darauf heraus?
LG
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> nein mir ist die Lösung an sich nicht so wichtig, da es
> sich um kein Bsp für eine Übung handelt, sondenr um
> Übungsbeispiele für mich.
>
> > [mm]s\in \IR[/mm] ist falsch, denn wir bewegen uns doch im
> [mm]\IZ_2-Vektorraum (\IZ_2)[/mm] [mm]^3 [/mm].
> > Dein Teilraum ist viel zu
> groß!
> Achso ja!!
>
> [mm]<\vektor{1 \\
1 \\
1}> =\{s\cdot{}\vektor{1\\
1 \\
1}| s \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\
1\\
0}>=\{k\cdot{}\vektor{0\\
1 \\
0}| k \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]>\vektor{1 \\
0 \\
0}> =\{u\cdot{}\vektor{1\\
0 \\
0}| u \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\
0 \\
1}>=\{w\cdot{}\vektor{0\\
0 \\
1}| w \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{1\\
1 \\
0}>=\{e\cdot{}\vektor{1\\
1 \\
0}| e \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{0 \\
1 \\
1}>=\{t\cdot{}\vektor{0\\
1 \\
1}| t \in \IZ_2\}[/mm]
>
> [mm]<\vektor{1 \\
0 \\
1}>=\{z\cdot{}\vektor{1\\
0 \\
1}| z \in \IZ_2\}[/mm]
>
> also vom ersten wären die Elemente:
> [mm]\vektor{0\\
0 \\
0},\vektor{1\\
1 \\
1}[/mm]
> vom zwieten
> wären die Elemente:
> [mm]\vektor{0\\
1\\
0},\vektor{0\\
0 \\
0}[/mm]
> vom dritten wären
> die Elemente:
> [mm]\vektor{1\\
0\\
0},\vektor{0\\
0 \\
0}[/mm]
>
> Also überall ist der 0-Vektor und noch ein anderer Vektor
> enthalten.
> Wolltesdt du darauf heraus?
Hallo,
ja, denn so ist es augenfällig, daß wirklich diese 7 eindimensionalen Unterräume verschieden sind.
LG Angela
> LG
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