Dimension Unterraum "cos()" < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Di 21.11.2006 | | Autor: | Geonosis |
| Aufgabe | Sei V die Menge von Funktionen
V = { [mm] g_{\alpha\lambda}: \IR \to \IR [/mm] | [mm] g_{\alpha\lambda}(t) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] cos(t + [mm] \alpha), \lambda,\alpha \in \IR [/mm] }
Zeige: V ist ein Untervektorraum von [mm] Abb(\IR, \IR). [/mm] Bestimme die Dimension von V. |
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Hallo alle zusammen! 
Ich plage mich zur Zeit mit dieser Aufgabe herum und weiß nicht so richtig, wie ich ansetzen soll. Den ersten Teil (Untervektorraum) habe ich bereits gezeigt. Um die Dimension von V angeben zu können, muss ich ja "herausfinden" wie viele lin. unab. Funktionen ich brauche, um alle andere Funktionen dieses Typs durch Kombination erstellen zu können (also die Anzahl der Elemente in der Basis). Nur wie finde ich die? Bei einem Raum von Funktionen ist das irgendwie "seltsamer" als bei "normalen" Räumen über [mm] \IR [/mm] z.B.
Ich hoffe, einer von euch kann mir da einen Denkanstoß geben! Vielen, vielen Dank im Voraus!
Geonosis
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei V die Menge von Funktionen
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> V = { [mm]g_{\alpha\lambda}: \IR \to \IR[/mm] | [mm]g_{\alpha\lambda}(t)[/mm]
> = [mm]\lambda[/mm] cos(t + [mm]\alpha), \lambda,\alpha \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Zeige: V ist ein Untervektorraum von [mm]Abb(\IR, \IR).[/mm]
> Bestimme die Dimension von V.
> Den ersten Teil
> (Untervektorraum) habe ich bereits gezeigt. Um die
> Dimension von V angeben zu können, muss ich ja
> "herausfinden" wie viele lin. unab. Funktionen ich brauche,
> um alle andere Funktionen dieses Typs durch Kombination
> erstellen zu können
>
> Ich hoffe, einer von euch kann mir da einen Denkanstoß
> geben!
Hallo,
die Additionstheoreme sagen
cos(t [mm] +\alpha)=cos(t)cos(\alpha)-sin(t)sin(\alpha).
[/mm]
Dann weiß man noch [mm] sin(t)=cos(\bruch{\pi}{2}-t)=cos(t+(-\bruch{\pi}{2})).
[/mm]
Also cos(t [mm] +\alpha)=\underbrace{cos(\alpha)}_{\in \IR}cos(t+0)-\underbrace{sin(\alpha)}_{\in \IR}cos(t+(-\bruch{\pi}{2}))
[/mm]
Das sollte Dich auf die Spur bringen, wie Du jede gewünschte Funktion erzeugen kannst.
Dann mußt Du noch die Lineare Unabhängigkeit zeigen.
Hierzu ein kleiner Hinweis Aus [mm] 0=rh_1(x)+sh_2(x) [/mm] für alle x
folgt [mm] 0=rh_1(0)+sh_2(0) [/mm] und [mm] 0=rh_1(1)+sh_2(1) [/mm] ) und [mm] 0=rh_1(\pi)+sh_2(\pi) [/mm] und und und...
Man kann sich da heraussuchen, was man gebrauchen kann...
Gruß v. Angela
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