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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | es sei [mm] f:\IR^5 [/mm] -> [mm] \IR^3, [/mm] g: [mm] \IR^3 [/mm] -> [mm] \IR^5 [/mm] lineare abbildungen.
zeige, dass ker(gof) mindestens zweidimensional ist |
ich bin so weit gekommen:
wegen dim(Bild(f)) + dim (Kern(f)) = dimV
also [mm] dim(Bild(g))+dim(kern(f))=dim(\IR^3)
[/mm]
wie mache ich weiter?
kioto
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:28 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi kioto,
> wegen dim(Bild(f)) + dim (Kern(f)) = dimV
>
> also [mm]dim(Bild(g))+dim(kern(f))=dim(\IR^3)[/mm]
Nein. Gegenbeispiel:
[mm] f(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(x_1, x_2, x_3)
[/mm]
[mm] g(x_1,x_2,x_3)=(x_1,x_2,x_3,0,0)
[/mm]
Dann ist [mm] \dim(Bild(g))+\dim(kern(f))=3+2=5\neq3=\dim\IR^3 [/mm]
Wegen deiner Dimensionsformel für lineare Abbildungen kannst du hingegen schließen, dass dim(Bild(f)) + dim (Kern(f)) = [mm] \dim \IR^5=5. [/mm]
Klar ist, das [mm] \dim(Bild(f))\leq \dim \IR^3 [/mm] gelten muss, da ja in diesen Raum abgebildet wird. Dann ist aber [mm] \dim (Kern(f))\geq [/mm] 2. Den nächsten Schritt schaffst du 
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
> Klar ist, das [mm]\dim(Bild(f))\leq \dim \IR^3[/mm] gelten muss, da
> ja in diesen Raum abgebildet wird. Dann ist aber [mm]\dim (Kern(f))\geq[/mm]
> 2. Den nächsten Schritt schaffst du
>
> Gruß, pyw
>
gilt es dann analog für g
[mm] \dim(Bild(g)) \le \dim \IR^5
[/mm]
also [mm] \dim(Kern(g)) \ge [/mm] 3?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hi kioto,
> gilt es dann analog für g
>
> [mm]\dim(Bild(g)) \le \dim \IR^5[/mm]
> also [mm]\dim(Kern(g)) \ge[/mm] 3?
Nein, leider nicht. In meinem vorigen Beispiel für f und g war dies zum Beispiel nicht der Fall. Dort war ja [mm] \dim(Bild(g))=3 [/mm] und wegen Dimensionsformel muss dann [mm] \dim(Kern(g))=\dim\IR^3-\dim(Bild(g))=3-3=0 [/mm] gelten.
Aber das brauchst du hier auch gar nicht.
Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, folgt aus [mm] \dim(Kern(f))\geq [/mm] 2 sofort, dass auch [mm] \dim(Kern(g\circ f))\geq [/mm] 2, denn alle Vektoren des Kerns von f werden durch f auf den Nullvektor abgebildet, der durch g wiederum auf den Nullvektor abgebildet werden muss. Also [mm] Kern(f)\subseteq Kern(g\circ [/mm] f).
Gruß, pyw
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Sa 29.01.2011 | | Autor: | kioto |
hallo pyw,
danke dass du die ganze zeit so geduldig mit mir warst, irgendwie bin ich nicht dafür geboren lineare algebra zu verstehen.....
reichts es hier auch, wenn ich nur
> Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, folgt aus
> [mm]\dim(Kern(f))\geq[/mm] 2 sofort, dass auch [mm] \dim(Kern(g\circ f))\geq [/mm] 2
>Also [mm] Kern(f)\subseteq Kern(g\circ [/mm] f)
verstehe?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Sa 29.01.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo kioto,
> danke dass du die ganze zeit so geduldig mit mir warst,
> irgendwie bin ich nicht dafür geboren lineare algebra zu
> verstehen.....
Hey, nicht resignieren. Es ist nicht schlimm, wenn du etwas nicht gleich verstehst. Das geht mir auch so. Aber irgendwann kommt immer der Moment, wo ein Licht aufgeht und dann ... Erfolgserlebnis :)
> reichts es hier auch, wenn ich nur
>
> > Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, folgt aus
> > [mm]\dim(Kern(f))\geq[/mm] 2 sofort, dass auch [mm]\dim(Kern(g\circ f))\geq[/mm]
> 2
> >Also [mm]Kern(f)\subseteq Kern(g\circ[/mm] f)
> verstehe?
Wenn du damit meinst, dass du so die Behauptung gezeigt hast, dann schon. Denn mit [mm] Kern(f)\subseteq Kern(g\circ [/mm] f) und [mm] \dim(Kern(f))\geq [/mm] 2 ist auch [mm] \dim(Kern(g\circ f))\geq [/mm] 2.
freundlicher Gruß,
pyw
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