Dimension des Spline-Raums < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] S_{l}(\Delta) [/mm] sei der Raum aller Splines der Dimension l auf dem Gitter [mm] \Delta.
[/mm]
[mm] \Delta: a=x_0
Dann gilt: dim [mm] S_{l}(\Delta) [/mm] = n+l |
Hi,
in meinen Unterlagen ist das einfach angegeben. Ich kann mir aber nicht erklären wieso die Dimension n+l sein soll. Das bedeutet doch, dass es n+l Basis-Spline-Vektoren gegeben muss, mit denen alle anderen Splines dargestellt werden können.
Da ich mich vorwiegend mit kubischen Splines beschäftige, könnt ihr euch auch auf den Fall l=3 einschränken.
Grüße und danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:39 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Du hast n+1 Gitterpunkte, die Basis des Splineraums der Dimension l besteht aus Funktionen, die in genau einem Gitterpunkt den Wert 1 und in allen anderen den Wert 0 haben und stückweise so aus Polynomen vom
Grad [mm] \le [/mm] l zusammengesetzt sind, dass die ganze Funktion l-1-mal stetig differenzierbar ist.
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Hi,
ich habe es noch nicht ganz verstanden. Eine Basisfunktion hätte dann beispielsweise im Gitterpunkt [mm] x_k [/mm] den Wert "1" und in allen anderen den Wert "0"?
Muss es sich bei den Basisfunktionen nicht auch um Polynome vom Grad l handeln? Im Fall der kubischen Splines müssen die Basispolynome doch Polynome dritter Ordnung sein, oder nicht.
Bei n Teilintervallen habe ich also maximal n verschiedene Polynome dritter Ordnung. Wenn ich nun den Raum aller kubischen Splines betrachte, brauche ich doch eine Basis von Polynomen dritter Ordnung, mit denen ich sämtliche Polynome dritter Ordnung darstellen kann, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Die Anzahl der Basisfunktionen hängt von der Anzahl der Gitterpunkte, nicht von der Anzahl der Teilintervalle ab. Du hast n+1 Gitterpunkte.
Wenn Du stückweise lineare Ansatzfunktionen nimmst, sind diese durch die Vorgabe an einem Gitterpunkt den Wert 1 und an allen anderen den Wert 0 zu haben, eindeutig bestimmt.
Wenn Du stückweise kubische Polynome nimmst, sind die durch die Vorgabe an einem Gitterpunkt den Wert 1 und an allen anderen den Wert 0 zu haben und zweimal stetig differenzierbar zu sein, ebenfalls schon eindeutig bestimmmt.
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Hi,
nochmal Schritt für Schritt...
[mm] x_0, x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] sind meine Gitterpunkte
[mm] y_0, y_1, [/mm] ..., [mm] y_n [/mm] sind die zugehörigen Daten oder Funktionswerte
auf den Intervallen [mm] [x_{j-1},x_j] [/mm] werden für j=1,...,n kubische Splines [mm] s_3(x) [/mm] ermittelt, mit [mm] s_3(x_{j-1})=y_{j-1} [/mm] und [mm] s_3(x_j)=y_j.
[/mm]
Die Dimension des Raums aller kubischen Splines [mm] S_3(\Delta) [/mm] soll nun n+3 betragen.
Zunächst einmal brauche ich eine Basis für Polynome dritter Ordnung. Das wäre [mm] \{1,x,x^2,x^3\}. [/mm] Die hat schon mal Dimension 4. Zudem benötige ich für jedes Intervall [mm] [x_{j-1},x_j] [/mm] (j=1,...,n) ein unterschiedliches Polynom [mm] p_j(x) [/mm] dritter Ordnung.
Wie komme ich mit diesem Ansatz nun auf eine Basis für den Raum [mm] S_3(\Delta)?
[/mm]
Deinen Ansatz verstehe ich leider nicht. Kannst du das evtl. etwas genauer herleiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo,
ich habe gerade meine Erinnerungen über Splines nochmal ein wenig aufgefrischt und festgestellt, dass die Antwort, die ich Dir gegeben habe so nicht stimmt, zumindest nicht, wenn die Ansatzfunktionen von höheren als erstem Grad sind!
Ich habe auch einen Link gefunden, wo bewiesen wird, dass die Dimension eines Splineraums (bei n+1 Knoten und Splines der Ordnung l) genau n+l ist.
( http://www.steinhaus-net.de/stefan/publikationen/mseminar.pdf)
Die Argumentation geht so:
Splines der Ordnung l setzten sich stückweise aus Polynomen von Grad [mm] \le [/mm] l zusammen. In Intervall [mm] [x_0;x_1] [/mm] kann man ein beliebiges Polynom von Grad [mm] \le [/mm] l ansetzen, man erhält somit l+1 frei wählbare Parameter. Für jedes der folgenden n-1 Intervalle kommt wegen der Stetigkeitsanforderungen an den Spline nur noch je ein Parameter hinzu, insgesamt ist die Dimension des Splineraums also höchsten n+l.
Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass sie wirklich n+l ist, wie das geht findest Du in diesem Link.
Sorry, dass ich Dir erst was Falsches geantwortet habe!
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