Dimension einer Unteralgebra < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Mi 08.10.2014 | | Autor: | drossel |
Hi
Für mein Proseminar muss ich was zu Algebren lesen und habe an einer Stelle zu einer Definition Verständnisprobleme.
Ist A eine Algebra mit 1 und [mm] a\in [/mm] A.
[mm] T(a):=\{\sum_{k=0}^nl_ka^k:l_k\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_0\} [/mm] ist die kleinste Unteralgebra, die von a erzeugt wird und in der 1 enthalten ist.
Meine 1.Frage (zugegebenermaßen ist sie mir ein wenig peinlich) ist: macht das ein Unterschied, ob ich [mm] n\in\mathbb{N}_0 [/mm] der Menge schreibe oder ob ich separat schreibe, " sei [mm] n\in\mathbb{N}_0, [/mm] betrachte [mm] T(a):=\{\sum_{k=0}^nl_ka^k:l_k\in\mathbb{C}\} [/mm] ". Also unterscheiden sich dann die Mengen? Ich dachte immer, dass es nicht so wäre.
Eigentlich geht es darum dass ich einsehen will, dass T(a) endlich, aber auch unendlichdimensional sein kann und es kommt wohl drauf an, was A ist. Ich frage mich, wie T(a) überhaupt unendlichdimensional sein kann, da ja nur endliche Summen in a enthalten sind, oder irre ich mich da?
Ein Beispiel für unendlichdimensional soll sein:
T(a), wenn A=C([0,1]), [mm] a(x)=e^x. a^n(x)=e^{nx} [/mm] und [mm] n\in\mathbb{N}_0.
[/mm]
Ich weiss zwar, dass [mm] \{e^0,e^x,e^{2x},...\} [/mm] eine linear unabhängige, unendliche Menge ist, aber in [mm] T(a)=\{\sum_{k=0}^nl_ke^{kx}:l_k\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_0\} [/mm] kommen doch nur endliche Summen vor, also wäre da [mm] e^{(n+1)x} [/mm] zb doch garnicht mehr in T(a)?.
Ich scheine das aber wohl falsch zu verstehen und n ist nicht fest?
Für ein endlichdimensionales Beispiel könnte man zb als A=reelle 4x4-Matrizen nehmen und als a eine nilpotente Matrix, ich sehe dann ein, dass T(a) endlichdimensional ist (mit Dimension = 3?).
Hat jemand noch ein anderes Beispiel, zb mit komplexen Einheitswurzeln?
Gruß.
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Hallo,
> Hi
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> Für mein Proseminar muss ich was zu Algebren lesen und
> habe an einer Stelle zu einer Definition
> Verständnisprobleme.
> Ist A eine Algebra mit 1 und [mm]a\in[/mm] A.
> [mm]T(a):=\{\sum_{k=0}^nl_ka^k:l_k\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_0\}[/mm]
> ist die kleinste Unteralgebra, die von a erzeugt wird und
> in der 1 enthalten ist.
Geht es um [mm] $\IC [/mm] $-Algebren oder $ R $-Algebren für beliebige kommutative Ringe $ R $? Und geht es um kommutative Algebren oder beliebige?
> Meine 1.Frage (zugegebenermaßen ist sie mir ein wenig
> peinlich) ist: macht das ein Unterschied, ob ich
> [mm]n\in\mathbb{N}_0[/mm] der Menge schreibe oder ob ich separat
> schreibe, " sei [mm]n\in\mathbb{N}_0,[/mm] betrachte
> [mm]T(a):=\{\sum_{k=0}^nl_ka^k:l_k\in\mathbb{C}\}[/mm] ". Also
> unterscheiden sich dann die Mengen? Ich dachte immer, dass
> es nicht so wäre.
Das macht selbstverständlich einen Unterschied! Sei $ n $ fest. Dann hat [mm] $\{n\} [/mm] $ nur ein Element, die Menge [mm] $\{n|n\in\IN\} [/mm] $ jedoch unendlich viele!
> Eigentlich geht es darum dass ich einsehen will, dass T(a)
> endlich, aber auch unendlichdimensional sein kann und es
> kommt wohl drauf an, was A ist. Ich frage mich, wie T(a)
> überhaupt unendlichdimensional sein kann, da ja nur
> endliche Summen in a enthalten sind, oder irre ich mich
> da?
Jede kommutative $R $-Algebra mit einem Erzeuger ist Quotient der freien $ R$-Algebra $ R [X] $ über einem Erzeuger $ X $. Wenn es also unendlichdimensionale Beispiele gibt, wird auch dieses eines sein. Dass es tatsächlich der Fall ist, kann man sich leicht überlegen, denn die Potenzen von $ X$ bilden eine Basis.
> Ein Beispiel für unendlichdimensional soll sein:
> T(a), wenn A=C([0,1]), [mm]a(x)=e^x. a^n(x)=e^{nx}[/mm] und
> [mm]n\in\mathbb{N}_0.[/mm]
> Ich weiss zwar, dass [mm]\{e^0,e^x,e^{2x},...\}[/mm] eine linear
> unabhängige, unendliche Menge ist, aber in
> [mm]T(a)=\{\sum_{k=0}^nl_ke^{kx}:l_k\in\mathbb{C}, n\in\mathbb{N}_0\}[/mm]
> kommen doch nur endliche Summen vor, also wäre da
> [mm]e^{(n+1)x}[/mm] zb doch garnicht mehr in T(a)?.
Das ist ein einziger Summand. $1$ ist endlich.
> Ich scheine das aber wohl falsch zu verstehen und n ist
> nicht fest?
S.o.
> Für ein endlichdimensionales Beispiel könnte man zb als
> A=reelle 4x4-Matrizen nehmen und als a eine nilpotente
> Matrix, ich sehe dann ein, dass T(a) endlichdimensional ist
> (mit Dimension = 3?).
> Hat jemand noch ein anderes Beispiel, zb mit komplexen
> Einheitswurzeln?
Für jedes [mm] $a\in\IC [/mm] $ ist $ T [mm] (a)=\IC [/mm] $ eindimensional.
(Edit: $ [mm] a\not=0$.) [/mm] Natürlich kannst du $ a $ als Einheitswurzel wählen.
> Gruß.
>
>
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Mi 08.10.2014 | | Autor: | drossel |
Danke für deine Antwort! Wieso hast du sie denn als Mitteilung abgeschickt?
Oh, sorry ich habe da echt unvollständige Angaben gemacht.
Es geht um [mm] \mathbb{C}-Algebren [/mm] (ich betrachte später Banachalgebren über [mm] \mathbb{C}), [/mm] die im allgemeinen nicht kommutativ sind.
Ok, danke, dass es einen Unterschied macht ist nachvollziehbar und nun für ein für allemal in meinem Kopf gespeichert und verstehe jetzt dann auch, dass T(a) unendlichdimensional sein kann.
Aber das mit dem Quotienten den Teil der Antwort habe ich leider garnicht verstanden, ich glaube, da fehlen mir die Grundlagen.
Was eine freie Algebra ist sehe ich jetzt hier http://en.wikipedia.org/wiki/Free_algebra ein, und dass R[X] eine freie R-Algebra über einem Erzeuger X ist, ist damit für mich verständlich.
Wie aber sieht man denn, dass jede kommutative R-Algebra mit einem Erzeuger Quotient der freien R-Algebra R[X] über einem Erzeuger X ist? Bzw. zuallererst muss ich die Aussage erstmal verstehen: was ist hier denn mit "Quotient einer Algebra" gemeint? Ich kenne nur Faktorringe und Quotientenkörper.
(Das ist hier alles für ein Proseminar und da ist viel anlesen verlangt, solche Dinge würde ich dann versuchen im Laufe der Zeit wissenstechnisch zu verfestigen. Richtige Algebrakenntnisse habe ich leider bisher noch nicht so.)
Okay, den Rest habe ich jetzt verstanden. Ich habe aber noch ein anderes Beispiel, dass ich gerne besprechen würde bzw. nur leider eine ungefähre Konstruktion eines Beispiels. Aber das erwähne ich vielleicht später.
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Hallo,
> Danke für deine Antwort! Wieso hast du sie denn als
> Mitteilung abgeschickt?
> Oh, sorry ich habe da echt unvollständige Angaben
> gemacht.
> Es geht um [mm]\mathbb{C}-Algebren[/mm] (ich betrachte später
> Banachalgebren über [mm]\mathbb{C}),[/mm] die im allgemeinen nicht
> kommutativ sind.
Von Analysis hab ich leider keine Ahnung, aber das hier krieg ich noch hin :)
> Ok, danke, dass es einen Unterschied macht ist
> nachvollziehbar und nun für ein für allemal in meinem
> Kopf gespeichert und verstehe jetzt dann auch, dass T(a)
> unendlichdimensional sein kann.
>
> Aber das mit dem Quotienten den Teil der Antwort habe ich
> leider garnicht verstanden, ich glaube, da fehlen mir die
> Grundlagen.
> Was eine freie Algebra ist sehe ich jetzt hier
> http://en.wikipedia.org/wiki/Free_algebra ein, und dass
Vorsicht! Ich meinte, dass der Polynomring $ R [X] $ die freie kommutative $ R $-Algebra ist (war vielleicht schlecht formuliert). Auch in dem von dir verlinkten Artikel wird darauf hingewiesen, dass die freie Algebra etwas anderes ist, als die freie kommutative Algebra aka Polynomring.
> R[X] eine freie R-Algebra über einem Erzeuger X ist, ist
> damit für mich verständlich.
Also die allgemeinste Definition von "Freiheit" ist wohl die, welche man ![[]](/images/popup.gif) hier findet (auch wenn es noch ein verwandtes Konzept in symmetrisch monoidalen Kategorien gibt, aber meistens stimmt beides überein). Das holt jetzt aber sehr weit aus. Elementarer ist es so:
Sei $ T $ eine Menge. Die freie kommutative $ R $-Algebra über $ T $ ist eine kommutative Algebra $ F (T) $ zusammen mit einer Abbildung $ [mm] T\longrightarrow [/mm] F (T) $, sodass es zu jeder Abbildung $ [mm] T\longrightarrow [/mm] A $ (*) in eine kommutative Algebra $ A $ genau einen Homomorphismus $ F [mm] (T)\longrightarrow [/mm] A $ gibt, sodass die Komposition $ [mm] T\longrightarrow [/mm] F [mm] (T)\longrightarrow [/mm] A $ gleich der Abbildung in (*) ist.
Hier sind alle Algebren kommutativ.
Man kann sich leicht überlegen, dass der Polynomring in $ T $ unbestimmten diese Eigenschaft erfüllt.
Zeigen will ich nun:
Satz: Ist $ A $ eine Algebra, $ [mm] T\subseteq [/mm] A $ eine Teilmenge, welche $ A $ erzeugt, so ist $ A $ Quotient (das heißt Bild eines surjektiven Homomorphismus) der freien Algebra über $ T $.
Beweis: Wir betrachten die Inklusion $ [mm] T\longrightarrow [/mm] A $. Gemäß der Definition von Freiheit gibt es genau einen Pfeil $ F (T) [mm] \longrightarrow [/mm] A $, sodass $ [mm] T\longrightarrow [/mm] F [mm] (T)\longrightarrow [/mm] A $ gleich der Inklusion ist. Dann ist $ T $ also im Bild des Homomorphismus $ F [mm] (T)\longrightarrow [/mm] A $ enthalten. Weil dieses Bild jedoch eine Unteralgebra ist, und $ T $ ganz $ A$ erzeugt, ist das Bild ganz $ A $. [mm] $\qedhere [/mm] $
> Wie aber sieht man denn, dass jede kommutative R-Algebra
> mit einem Erzeuger Quotient der freien R-Algebra R[X] über
> einem Erzeuger X ist? Bzw. zuallererst muss ich die Aussage
> erstmal verstehen: was ist hier denn mit "Quotient einer
> Algebra" gemeint? Ich kenne nur Faktorringe und
> Quotientenkörper.
S.o.
Dies zeigt, dass jede einelementig erzeugte Algebra Quotient von $ R [X] $ ist, also höchstens die Dimension von $ R [X] $ haben kann. Somit hat $ R [X] $ größtmögliche Dimension und wenn man nach unendlicher Dimension sucht, sollte man dort beginnen.
Alles hier gesagte bezieht sich jetzt nur auf kommutative Algebren.
Die Aussage, dass jede $ T $-erzeugte Algebra Quotient der freien $ T $-erzeugten Algebra ist, überträgt sich aber auf jede algebraische Struktur (und ist eine kategorientheoretische Trivialität).
> (Das ist hier alles für ein Proseminar und da ist viel
> anlesen verlangt, solche Dinge würde ich dann versuchen im
> Laufe der Zeit wissenstechnisch zu verfestigen. Richtige
> Algebrakenntnisse habe ich leider bisher noch nicht so.)
>
>
> Okay, den Rest habe ich jetzt verstanden. Ich habe aber
> noch ein anderes Beispiel, dass ich gerne besprechen würde
> bzw. nur leider eine ungefähre Konstruktion eines
> Beispiels. Aber das erwähne ich vielleicht später.
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Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Wieso zählt meine Mitteilung nicht als Antwort und wieso ist die Frage beantwortet??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Mi 08.10.2014 | | Autor: | Diophant |
Moin,
das ist vermutlich folgendermaßen passiert: du hast eine Antwort begonnen, dadurch hat sich der Status der Frage geändert. Während der Arbeit an deiner Antwort hast du vermutlich irgendwie aus Versehen auf 'Dieser Beitrag ist eine Mitteilung' geklickt. Definitiv hatte jedenfalls außer dir niemand die Finger im Spiel.
Ich hab es jetzt entsprechend umgewandelt und bedanke mich für den Hinweis: denn eine beantwortete Frage ohne Antwort, das ergibt keinen Sinn.
Gruß, Diophant
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Klingt logisch, danke dir :)
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