Dimension eines Unterraumes < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie die Dimension des Unterraumes im [mm] R^{4}, [/mm] der durch folgende Vektoren erzeugt wird
(2 1 11 [mm] 2)^{T}; [/mm] (11 4 56 [mm] 5)^{T}; [/mm] (1 0 4 [mm] -1)^{T}; [/mm] (2 -1 5 [mm] -6)^{T}
[/mm]
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Hallo ;)
Also ich habe mich gerade an dieser Aufgabe aus einer Lineare Algebra Klausur einer Fachhochschule versucht. Ich bin auf ein Ergebnis gestoßen bin mir aber nicht sicher, ob das so schon reicht...
Hier meine Vorgehensweise:
1. [mm] \pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & -1 & -6}
[/mm]
Nun subtrahiere ich von der 4ten Zeile die erste
2. [mm] \pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -2 & -8} [/mm]
Ich multipliziere die dritte Zeile mit "11"
3. [mm] \pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 11 & 44 & 0 & -11 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -2 & -8}
[/mm]
Ich subtrahiere von der dritten Zeile die zweite Zeile
4. [mm] \pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 11 & 44 & 0 & -11 \\ 0 & 12 & 4 & 16 \\ 0 & -6 & -2 & -8}
[/mm]
Hier ist ja nun zu erkennen, dass die Zeilen 3 + 4 voneinander abhängen, da ich die vierte ja nun nur noch mit 2 multiplizieren bräuchte.
Kann ich also aussagen, dass die Dimension dieses Unterraumes 2 beträgt oder muss ich die verbleibenden auch noch weiter untersuchen und wenn ja, wie lange..
Vielen Dank im Voraus für eure Mühe,
mfg,
Sebastian
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Hallo
> Ermitteln Sie die Dimension des Unterraumes im [mm]R^{4},[/mm] der
> durch folgende Vektoren erzeugt wird
>
> (2 1 11 [mm]2)^{T};[/mm] (11 4 56 [mm]5)^{T};[/mm] (1 0 4 [mm]-1)^{T};[/mm] (2 -1 5
> [mm]-6)^{T}[/mm]
>
> Hallo ;)
>
> Also ich habe mich gerade an dieser Aufgabe aus einer
> Lineare Algebra Klausur einer Fachhochschule versucht. Ich
> bin auf ein Ergebnis gestoßen bin mir aber nicht sicher,
> ob das so schon reicht...
>
> Hier meine Vorgehensweise:
>
> 1. [mm]\pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & -1 & -6}[/mm]
>
> Nun subtrahiere ich von der 4ten Zeile die erste
> 2. [mm]\pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 1 & 4 & 0 & -1 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -2 & -8}[/mm]
>
> Ich multipliziere die dritte Zeile mit "11"
> 3. [mm]\pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 11 & 44 & 0 & -11 \\ 11 & 56 & 4 & 5 \\ 0 & -6 & -2 & -8}[/mm]
>
> Ich subtrahiere von der dritten Zeile die zweite Zeile
> 4. [mm]\pmat{ 2 & 11 & 1 & 2\\ 11 & 44 & 0 & -11 \\ 0 & 12 & 4 & 16 \\ 0 & -6 & -2 & -8}[/mm]
>
Das scheint bis hierher alles zu stimmen.
> Hier ist ja nun zu erkennen, dass die Zeilen 3 + 4
> voneinander abhängen, da ich die vierte ja nun nur noch
> mit 2 multiplizieren bräuchte.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Kann ich also aussagen, dass die Dimension dieses
> Unterraumes 2 beträgt oder muss ich die verbleibenden auch
> noch weiter untersuchen und wenn ja, wie lange..
>
Nun, wenn du jetzt dies machst und die letzte Zeile eliminierst, dann bleiben trotzdem noch 3 Zeilen stehen. Also kannst du bis jetzt nur sagen, dass die Dimension höchstens 3 ist.
Du musst nun weiter machen und die Matrix auf Zeilenstufenform bringen! Hast du diese Form erreicht, so kannst du ablesen, wieviele Vektoren übrig bleiben...
> Vielen Dank im Voraus für eure Mühe,
>
> mfg,
> Sebastian
>
Grüsse, Amaro
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Danke für die Info, vielen Dank, du hast natürlich recht, dass ich bisher nur aussagen konnte, das 3 Dimensionen existieren, hab es aber noch weitergerechnet und komme aus 2, meine letzte Matrix sieht wie folgt aus:
[mm] \pmat{ 22 & 121 & 11 & 22\\ 0 & -132 & -44 & -176 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]
da ich die Matrix ja nun nicht weiter elementar zerlegen, also kann ich jetzt Aussagen (weis gar nicht, wie ich den Antwortsatz gestalte ;O )
"Die Dimension des Unterraumes [mm] R^{4} [/mm] beträgt 2"
mfg,
Sebastian
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Hallo
> Danke für die Info, vielen Dank, du hast natürlich recht,
> dass ich bisher nur aussagen konnte, das 3 Dimensionen
> existieren, hab es aber noch weitergerechnet und komme aus
> 2, meine letzte Matrix sieht wie folgt aus:
>
> [mm]\pmat{ 22 & 121 & 11 & 22\\ 0 & -132 & -44 & -176 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> da ich die Matrix ja nun nicht weiter elementar zerlegen,
> also kann ich jetzt Aussagen (weis gar nicht, wie ich den
> Antwortsatz gestalte ;O )
>
> "Die Dimension des Unterraumes [mm]R^{4}[/mm] beträgt 2"
>
Das ist so nicht ganz richtig.. es handelt sich um ein Unterraum IN [mm] \IR^{4}, [/mm] nicht um [mm] \IR^{4} [/mm] als Unterraum!
Ich würde den gegebenen Unterraum mit U bezeichnen. Dann: U [mm] \subset \IR^{4}.mit [/mm] dim(U) = 2.
> mfg,
> Sebastian
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:19 Fr 21.08.2009 | | Autor: | ronin1987 |
Vielen Dank, das werde ich in der Klausur machen,
Merci beaucoup,
Sebastian
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