Dimension eines Vektorraumes < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Di 30.12.2008 | | Autor: | djd92l |
| Aufgabe | Gegeben seien folgende vier Vektoren aus [mm] \IR^3 [/mm] :
[mm] v_1 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 3}, v_2 [/mm] := [mm] \vektor{-2 \\ 3 \\ 1}, v_3 [/mm] := [mm] \vektor{4 \\ -5 \\ 5}, v_4 [/mm] := [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 17} [/mm] .
Sei $V [mm] \subseteq \IR^3$ [/mm] der von [mm] $v_1 \ldots v_4$ [/mm] aufgespannte Vektorraum. Welche Dimension hat $V$? |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo!
Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht ganz sicher, ob meine Rechnung richtig ist, die ich gemacht habe, um die Aufgabe zu lösen.
Vorab:
Wenn ich die 4 Vektoren in 3D zeichne, dann werden mit jeweils 3 von ihnen eine Ebene aufgespannt. Der jeweils 4. Vektor verhält sich zu dieser Ebene orthogonal, das heißt, es wird ein 3-Dimensionaler Raum aufgespannt, in der jeder Punkt durch diese 4 Vektoren beschrieben werden kann.
(Ich hoffe, meine Überlegung ist richtig..)
Jetzt zur Rechnung:
Ich habe die 4 Vektoren in eine Matrix geschrieben, da ich quasi eine Untersuchung der linearen Unabhängigkeit der Vektoren vornehmen will, um so auf die Dimension zu schließen:
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & -5 & 1 \\ 3 & 1 & 5 & 17 }
[/mm]
Jetzt habe ich sie so umgeformt, dass ich eine Matrix bekomme, die so aussieht (mit einem Matheprogramm überprüft):
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Das hier die letzte Zeile 0 ist verstehe ich nicht und es steht auch im Konflikt zu meiner Beobachtung mit der Zeichnung.
Ich hatte erwartet, dass eine der Spalten 0 wird.
Weiß da jemand Rat und sieht vll. meinen (sehr wahrscheinlich existierenden) Denkfehler?
Viele Grüße,
djd92l
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Hallo djd92l,
da stimmt was nicht...
> Gegeben seien folgende vier Vektoren aus [mm]\IR^3[/mm] :
> [mm]v_1[/mm] := [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ 3}, v_2[/mm] := [mm]\vektor{-2 \\ 3 \\ 1}, v_3[/mm]
> := [mm]\vektor{4 \\ -5 \\ 5}, v_4[/mm] := [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 17}[/mm] .
>
> Sei [mm]V \subseteq \IR^3[/mm] der von [mm]v_1 \ldots v_4[/mm] aufgespannte
> Vektorraum. Welche Dimension hat [mm]V[/mm]?
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
> Hallo!
>
> Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht ganz sicher, ob meine
> Rechnung richtig ist, die ich gemacht habe, um die Aufgabe
> zu lösen.
>
> Vorab:
> Wenn ich die 4 Vektoren in 3D zeichne, dann werden mit
> jeweils 3 von ihnen eine Ebene aufgespannt. Der jeweils 4.
> Vektor verhält sich zu dieser Ebene orthogonal, das heißt,
> es wird ein 3-Dimensionaler Raum aufgespannt, in der jeder
> Punkt durch diese 4 Vektoren beschrieben werden kann.
> (Ich hoffe, meine Überlegung ist richtig..)
Die Überlegung an sich ist richtig, aber die zugrundeliegende Beobachtung kann nicht stimmen. Wenn drei der Vektoren in einer Ebene liegen, dann ist schonmal einer überflüssig... Ich finde aber alle vier Vektoren in einer Ebene!
Es zeigt sich ja leicht, dass z.B. [mm] \vec{v_4}=5\vec{v_1}+2\vec{v_2} [/mm] und [mm] \vec{v_3}=2\vec{v_1}-\vec{v_2}
[/mm]
Da [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2} [/mm] linear unabhängig sind, liegt also ein zweidimensionaler Unterraum vor.
> Jetzt zur Rechnung:
> Ich habe die 4 Vektoren in eine Matrix geschrieben, da ich
> quasi eine Untersuchung der linearen Unabhängigkeit der
> Vektoren vornehmen will, um so auf die Dimension zu
> schließen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 4 & 1 \\ -1 & 3 & -5 & 1 \\ 3 & 1 & 5 & 17 }[/mm]
>
> Jetzt habe ich sie so umgeformt, dass ich eine Matrix
> bekomme, die so aussieht (mit einem Matheprogramm
> überprüft):
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Das hier die letzte Zeile 0 ist verstehe ich nicht und es
> steht auch im Konflikt zu meiner Beobachtung mit der
> Zeichnung.
Ja, die Beobachtung ist ja auch falsch.
Die Matrix hat den Rang 2; das ist auch die Dimension des Unterraums.
> Ich hatte erwartet, dass eine der Spalten 0 wird.
Dann musst Du anders umformen. Allerdings werden dann zwei Spalten 0.
> Weiß da jemand Rat und sieht vll. meinen (sehr
> wahrscheinlich existierenden) Denkfehler?
>
> Viele Grüße,
> djd92l
Nee, gedacht hast Du gut, nur falsch geguckt oder gezeichnet.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 30.12.2008 | | Autor: | djd92l |
Hi reverend,
vielen Dank für deine Mühe. Ich habe die Vektoren noch einmal in das Programm eingegeben und siehe da: Alle Vektoren bilden eine Ebene. Warum mir der Fehler beim ersten Mal eingeben nicht aufgefallen ist, ist mir schleierhaft. Dann ist es natürlich auch klar, warum die Dimension 2 ist.
Zu meinem Denkfehler:
Ich habe da irgendwas durcheinandergeworfen, jetzt ist mir alles klar und natürlich ist eine Ebene aufgespannt durch nur 2 Vektoren. Auch im 3-Dimensionalen raum. Dann steht die halt etwas schief in der Gegend rum. 
Noch mals vielen Dank!!
- djd92l
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