Dimension eines Vektorraums < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Cadavre |
hi. ich habe hier eine etwas komische aufgabe:
Es sei V der Vektorraum [mm] \IR [/mm] über dem Körper [mm] \IQ. [/mm] Was ist die Dimension ?
Irgendwie kann ich mit dem Vektorraum über dem Körper der rationalen Zahlen nichts anfangen... wie soll man da ran gehen ?
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 Mi 25.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> Irgendwie kann ich mit dem Vektorraum über dem Körper der
> rationalen Zahlen nichts anfangen...
Naja, die Skalarmultiplikation mit links den Skalraren als rationale Zahlen, und rechts sind beliebige reele Zahlen, sowie die Vektoraddition sind hier durch die normalen Operation in den reelen Zahlen gegeben. Also rationale Zahlen Skalare, bel. reelle sind Vektoren.
> wie soll man da ran
Angenommen es gäbe eine endliche Basis - was folgte dann für die Mächtigkeit der reelen Zahlen? (Unterscheidet ihr bei der Dimension mehrer Unendlichkeiten - also Kardinalitäten?)
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mi 25.05.2005 | | Autor: | Cadavre |
öhm.. die dimension mehrerer Unendlichkeiten sagt mir irgendwie gar nichts...
und irgendwie... hm..
Die Dimension eines Vektorraums über [mm] \IR^{2} [/mm] ist doch zwei, die eines Vektorraums über [mm] \IR^{3} [/mm] drei usw oder ?
dann kann ich mir da bei den [mm] \IQ [/mm] irgendwie nichts drunter vorstellen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Do 26.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
also normaler Weise würdest du doch den $ [mm] \IR [/mm] $ Vektorraum $ [mm] \IR [/mm] $ betrachten, wie du schon sagtest ist dieser eindimensional, denn eine Basis wäre (1) - denn so kann man jede reelle Zahl r durch r*1 als Linearkombination mit der Basis darstellen.
Jetzt hast du aber einen $ [mm] \IQ [/mm] $ Vektorraum $ [mm] \IR [/mm] $, d.h. du musst auch alle reellen Zahlen r als Linearkombination einer Basis darstellen, jedoch dürfen die skalare vor den Basisvektoren in dieser Darstellung jetzut nur aus $ [mm] \IQ [/mm] $ sein.
verstehst du jetzt das Problem?
Aber ein Ansatz wurde dir ja schon genant - versuchs doch mal so.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:28 Do 26.05.2005 | | Autor: | Cadavre |
hm.... also bräuchte ich wohl eine unendlich-dimensionale Basis oder ? ich weiß nur nicht genau, wie ich das dann Begründen / beweisen sollte.... Könnte man sagen, dass, wenn es eine endlich-dimensionale Basis gäbe die Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich der Mächtigkeit der rationalen Zahlen wäre, was ja offensichtlich nicht der Fall ist, da es viel mehr irrationale Zahlen gibt als rationale ? sonst hab ich den Tipp irgendwie nicht verstanden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 26.05.2005 | | Autor: | SEcki |
> hm.... also bräuchte ich wohl eine unendlich-dimensionale
> Basis oder ?
Nein, es reicht aus zu zeigen, daß eine endliche bzw. abzählbare Basis zum Widerspruch führt.
> ich weiß nur nicht genau, wie ich das dann
> Begründen / beweisen sollte....
Angenommen es gäbe eine ... Widerpsruch. aber das schrieb ich schon.
> Könnte man sagen, dass,
> wenn es eine endlich-dimensionale Basis gäbe die
> Mächtigkeit der reellen Zahlen gleich der Mächtigkeit der
> rationalen Zahlen wäre,
Das ist der Punkt.
> was ja offensichtlich nicht der
> Fall ist, da es viel mehr irrationale Zahlen gibt als
> rationale ?
Aha, das ist also "offensichtlich" - wieso denn? Das ist ein Satz, der durchaus beweisbedürftig ist. Es gibt ja auch a priori "viel mehr" rationale Zahlen, als natürliche, oder?
> sonst hab ich den Tipp irgendwie nicht
> verstanden...
Jetzt hast du ja alles beisammen - und probier das mal zu formuleiren.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 So 12.06.2005 | | Autor: | Cadavre |
hm, irgendwie bekomme ich es immernoch nicht hin, diesen Widerspruch genau aufzuzeigen...
Man kann ja nicht argumentieren, dass man eine unendliche Basis braucht, da man alle reellen Zahlen als linearkombination von rationalen Zahlen darstellen muss, da ja nur die Koeffizienten rational sind, die Zahlen der Basis selbst jedoch reell sind...
Aber bei mir hakts irgendwie, das jetzt konkret in Worte zu fassen *verzweifel*
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Hi Cadavre,
Du schreibst:
"da man alle reellen Zahlen als linearkombination von rationalen Zahlen darstellen muss, da ja nur die Koeffizienten rational sind, die Zahlen der Basis selbst jedoch reell sind... "
Du brauchst als Koeffizenten keine reellen Zahlen, Du brauchst dafür nur ganze Zahlen.
Eine Basis der reellen Zahlen, wenn man diese als Vektorraum auffasst ist dann die Menge (1/1,1/2, 1/3,...). Im Prinzip würden sogar die Kehrwerte aller Primzahlen ausreichen, aber das musst Du nicht mal berücksichtigen.
Dann kannst Du jede rationale Zahl als Linearkombination dieser Vektoren darstellen.
Den Rest kannst Du am Besten zeigen, indem Du das Cauchy-Krieterium anwendest.
Damit kannst Du zeigen, dass jede reelle Zahl so dargestellt werden kann.
Der andere Teil des Beweises bezieht sich darauf zu zeigen, dass r keine irrationale Zahl sein kann, wenn der Vektorraum endlich wäre.
Du musst also zeigen, dass r eine rationale Zahl ist, wenn nur endlich viele Koeffizenten ungleich 0 sind.
Dazu kannst Du Induktion verwenden.
Gruß
Jürgen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 12.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Du brauchst als Koeffizenten keine reellen Zahlen, Du
> brauchst dafür nur ganze Zahlen.
Ehh, nein. Wir reden hier von den reelen Zahlen als Vektorraum über den rationalen.
> Eine Basis der reellen Zahlen, wenn man diese als
> Vektorraum auffasst ist dann die Menge (1/1,1/2, 1/3,...).
Über welchem Körper? Über den rationalen Zahlen sicher nicht, über den reelen auch nicht.
> Im Prinzip würden sogar die Kehrwerte aller Primzahlen
> ausreichen, aber das musst Du nicht mal berücksichtigen.
Willst du also die rationalen Zahlen als [m]\IZ[/m]-Modul beschreiben? Okay, aber das hat mit der Aufgabe nichts zu tun.
> Dann kannst Du jede rationale Zahl als Linearkombination
> dieser Vektoren darstellen.
Darum geht es aber nicht, es geht nicht darum rationale Zahlen darzustellen, sondern alle reelen.
> Den Rest kannst Du am Besten zeigen, indem Du das
> Cauchy-Krieterium anwendest.
Analysis? Cauchy-Folgen? Vervollständigung? Oder welches Kriterium?Das kann man so hie rnicht anwednen.
> Damit kannst Du zeigen, dass jede reelle Zahl so
> dargestellt werden kann.
Als was? Als Folge rationaler Zahlen? Als Reihe mit rationalen Zahlen? Gerne, das ist aber nicht die Aufgabe gewesen.
> Der andere Teil des Beweises bezieht sich darauf zu
> zeigen, dass r keine irrationale Zahl sein kann, wenn der
> Vektorraum endlich wäre.
Welches r denn jetzt?
> Du musst also zeigen, dass r eine rationale Zahl ist, wenn
> nur endlich viele Koeffizenten ungleich 0 sind.
> Dazu kannst Du Induktion verwenden.
Du willst also mit obiger Basis zeigen, daß wenn nur endlich viele 0 sind, dass dann die zahl rational ist? Du hast eine Basis ausgezeichnet - du musst aber für alle einen Widerspruch führen. (Obwohldas eher eine "Basis" ist, zumal wir hier in der Algebra sind. ich kenne mich mit toplo. Basen nicht so gut aus, kann gut sein, daß dein System oben eine topol. Basis ist, aber das ist hier wohl nicht gefragt,.)
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 So 12.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
--- hat sich erledigt ---
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 16:46 So 12.06.2005 | | Autor: | Cadavre |
hm, wenn das jetzt nicht so das richtige war, wie könnte ich das sonst angehen ?
Muss nichtmal ne riesige Rechnung sein, würde schon reichen, wenn man das argumentativ einigermaßen logisch begründen könnte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:27 Mo 13.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
Dieser Strang hat sich dann wohl auch erledigt...
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Die Dimension eines [mm]K[/mm]-Vektorraums hängt vom Körper [mm]K[/mm] ab.
Beispiel: [mm]\IC[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum hat die Dimension 1. Eine Basis ist [mm]\{1\}[/mm].
[mm]\IC[/mm] als [mm]\IR[/mm]-Vektorraum hat die Dimension 2, hier ist
[mm]\{1,i \}[/mm] eine Basis.
Angenommen, [mm]\IR[/mm] als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum wäre endlich-dimensional, etwa
[mm]\dim_\IQ(\IR) = n[/mm].
Dann wäre [mm]\IR[/mm] isomorph zu [mm]\IQ^n[/mm]...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 13.06.2005 | | Autor: | DarkSea |
Joa, so müsste das wohl gehen
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