Dimension(sformel) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | | Sei [mm] f: \IR^5 \to \IR^3 [/mm] linear. Bestimmen Sie die möglichen Dimensionen von Kern(f). |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Die Lösung zu dieser Augabe lautet: [mm] dim Kern(f) \in \{2,3,4,5\} [/mm]
Ich weiss aber nicht, warum.
Laut Dimensionsformel dim V = dim Kern(f) - dim Bild(f) kann ich ableiten, dass dim V=5, dim Bild(f)=3 und damit Dim Kern(f)=2 ist. Aber wie kommt man auf 3,4,5 ?
Danke, Susanne.
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Hallo!
Mal etwas anschaulicher:
Du mußt dir überlegen, daß ein 5-Dim Vektor auf einen 3-Dim Vektor abgebildet wird. Zunächst gibt's da das Dimensionskriterium, welcher besagt, daß der Kern mindestens die Dimension 2 hat.
Aber: Die Vektoren könnten auch auf eine Ebene in dem 3Dim-Raum abgebildet werden. Eine Ebene beschreibt aber ein 2-Dim Gebilde, und somit ist der Kern jetzt 3-Dim.
Die gleiche Argumentation gilt für die Abbildung auf eine Grade.
Zu guter letzt bildet die 0-Abbildung ja alles auf 0 ab, hier ist die Kern-Dimension gleich der Urbilddimension, also 5.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 Mo 07.01.2008 | | Autor: | SusanneK |
Eigentlich ganz einfach nach dieser Erklärung - VIELEN DANK !
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