Dimension vom Bild/Kern < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:22 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung
f: [mm] \IR^4\to\IR^3
[/mm]
[mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z}\mapsto \vektor{w+2x+y \\ 2w+y+z \\ 3w+2x+3y+z}
[/mm]
1.) Geben sie die Matrix A an, welche die Eigenschaft [mm] F_{A}=f [/mm] hat
2.) Bestimmen sie die Dimension vom Bild und vom Kern von f |
Bei 1) habe ich raus:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 1}
[/mm]
Bei 2) habe ich mal den Gauß Algorithmus angewandt:
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}
[/mm]
Für den Kern gilt ja M*x=0 also;
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}*\vektor{w \\ x \\ y\\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
aber was hilft mir das und wie berechne ich das Bild?
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Hallo,
> Gegeben sei die lineare Abbildung
> f: [mm]\IR^4\to\IR^3[/mm]
> [mm]\vektor{w \\ x \\ y \\ z}\mapsto \vektor{w+2x+y \\ 2w+y+z \\ 3w+2x+3y+z}[/mm]
>
> 1.) Geben sie die Matrix A an, welche die Eigenschaft
> [mm]F_{A}=f[/mm] hat
> 2.) Bestimmen sie die Dimension vom Bild und vom Kern von
> f
> Bei 1) habe ich raus:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 3 & 1}[/mm]
>
Das war ja der leichte Teil, da man die Matrix ablesen kann.
> Bei 2) habe ich mal den Gauß Algorithmus angewandt:
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}[/mm]
>
Wie bist du bis dahin gekommen (wie soll man dir helfen, wenn man deine Rechnung nicht sieht?)? Ich halte die letzte Version der Matrix für falsch, überprüfe nochmals deinen Gauß-Algorithmus. Deine oberste Zeile ist durch einen Zeilentausch entstanden? Für diesen Fall wäre dir da schinmal eine 1 flöten gegnagen. Das sind so die Dinge, die meine Kristallkugel über ihren USB-Anschluss ausgegeben hat...
> Für den Kern gilt ja M*x=0 also;
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0}*\vektor{w \\ x \\ y\\ z}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> aber was hilft mir das und wie berechne ich das Bild?
Vorausgesetzt, die Matrix stimmt, dann steht daoben doch genau das LGS, dessen Lösungsmenge der Kern ist. Das sollte in deinenUnterlagens stehen!
Für das Bild wende den Dimensionssatz an.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Also ich bin mir ziemlich sicher das ich den Gauß Algorithmus richtig gelöst habe (Zumal ich es grad mit einem Online Rechner überprüft habe)
Naja ich kann das LGS nicht wirklich lösen ich bekomme raus:
w = -0,5z
x= 0.25z
y=0
z= -2w oder z=4x
Hab ich was falsch gemacht?
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Hallo,
> Also ich bin mir ziemlich sicher das ich den Gauß
> Algorithmus richtig gelöst habe (Zumal ich es grad mit
> einem Online Rechner überprüft habe)
> Naja ich kann das LGS nicht wirklich lösen ich bekomme
> raus:
> w = -0,5z
> x= 0.25z
> y=0
> z= -2w oder z=4x
> Hab ich was falsch gemacht?
Du hast wohl etwas falsch verstanden. Es geht um die Lösungsmenge, die muss man hier in Abhängigkeit von Parametern darstellen. Mache dir klar, wehalb dies hier ein Parameter ist und was das bedeutet (auch für das Bild!).
Falsch ist jedenfalls da oben nichts, von daher kann man auch irgendwie auf deine Version der Matrix kommen. Nur ist es nicht zu Ende gedacht.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Das einzige an was ich mich erinnere kann ist, dass etwas gleich t oder s gesetzt wird. Das habe ich gemacht:
2w + z = 0 <=> 2w = -z
-4x + z = 0<=>-4x= -z
y = 0
jetzt habe ich -z als t definiert und bekomme dann den Vektor:
[mm] \vektor{1/2t \\ -1/4t \\ 0 \\ -t} [/mm]
raus.
Aber wirklich schlauer wurde ich dadurch nicht.
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Hallo,
> Das einzige an was ich mich erinnere kann ist, dass etwas
> gleich t oder s gesetzt wird. Das habe ich gemacht:
> 2w + z = 0 <=> 2w = -z
> -4x + z = 0<=>-4x= -z
> y = 0
> jetzt habe ich -z als t definiert und bekomme dann den
> Vektor:
> [mm]\vektor{1/2t \\ -1/4t \\ 0 \\ -t}[/mm]
> raus.
Die z-KOmponente ist falsch, das müssen -1/4*t sein. Dann steht da der Kern der Abbildung, den suchst du doch?
> Aber wirklich schlauer wurde ich dadurch nicht.
Schlauer wird man nicht durch Rechnen, sondern durch gründliches Erarbeiten des betreffenden Stoffes. Und das ist hier sicherlich noch nicht geschehen!
Es ist ein Irrtum zu glauben, man könne Lernen an ein Forum delegieren. Das klappt schon mit dem Schulstoff nicht wirklich und im Studium ist es eigtentlich nachgeradezu widersinnig, wenn man sich mal die Wortbedeutung von studere in Erinnerung ruft...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ah stimmt! Gut dann weiß ich bescheid!
Achja und ich z.B. lerne sehr gut über diese Forum da die Antworten doch recht ausführlich ausfallen :) Natürlich muss man immer ins Skript des Profs gucken aber sich mit anderen aus dem Internet aus zu tauschen erachte ich als sehr hilfreich!
So viel dazu!
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Mathe93,
da hast du wohl meine kleine Mahnung nicht gründlich genug durchgelesen. Dem, was du da oben schreibst, stimme ich voll und ganz zu. Und da oben (in meinem Beitrag) geht es um etwas völlig anderes. Sonst würde ich hier wohl kaum mitmachen, oder? 
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Sa 24.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast doch bisher alles richtig, der Lösungsraum ist Span von
$ [mm] \vektor{1/2t\\ -1/4 \\ 0 \\ -1} [/mm] $ oder alle Vektoren der Form
[mm] t*\vektor{1/2t\\ -1/4 \\ 0 \\ -1} t\in\IR
[/mm]
also ist der Kern 1 dimensional. Welche Dimension hat dann das Bild?
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Sa 24.05.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Naja es gilt ja der Satz:
dimV = dimKern + dimBild
Stellt man diesen jetzt um erhalte ich ja:
dim Bild = dimV - dimKern
da unser V hier [mm] \IR^4 [/mm] ist gilt:
dimBild = 4 - 1 = 3
Darum hat das Bild dann die Dimension 3
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> Naja es gilt ja der Satz:
> dimV = dimKern + dimBild
> Stellt man diesen jetzt um erhalte ich ja:
> dim Bild = dimV - dimKern
> da unser V hier [mm]\IR^4[/mm] ist gilt:
> dimBild = 4 - 1 = 3
> Darum hat das Bild dann die Dimension 3
Ja, genau.
LG Angela
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> Naja es gilt ja der Satz:
> > dimV = dimKern + dimBild
> > Stellt man diesen jetzt um erhalte ich ja:
> > dim Bild = dimV - dimKern
> > da unser V hier [mm]\IR^4[/mm] ist gilt:
> > dimBild = 4 - 1 = 3
> > Darum hat das Bild dann die Dimension 3
>
> Ja, genau.
>
> LG Angela
>
Hallo, entschuldigt bitte das ich dieses Thema nochmal öffne, aber ich bin hier drauf gestoßen da ich eine ähnliche Aufgabe hatte und zwar kann es sein das man die Dimension hier nicht mit der Dimensionsformel ausrechnen kann, so wie es vorher hier getan wurde?
Der R ist doch nicht endlich erzeugt, falls ich mich nicht täusche.
Weiß einer mehr?
Dankeschön!
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> > Naja es gilt ja der Satz:
> > > dimV = dimKern + dimBild
> > > Stellt man diesen jetzt um erhalte ich ja:
> > > dim Bild = dimV - dimKern
> > > da unser V hier [mm]\IR^4[/mm] ist gilt:
> > > dimBild = 4 - 1 = 3
> > > Darum hat das Bild dann die Dimension 3
> >
> > Ja, genau.
> >
> > LG Angela
> >
>
> Hallo,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> entschuldigt bitte das ich dieses Thema nochmal
> öffne,
Hier werden keine Themen geschlossen, und es ist schön, daß Du Dich der Thread interessiert und Du Dich hier beteiligst.
> aber ich bin hier drauf gestoßen da ich eine
> ähnliche Aufgabe hatte und zwar kann es sein das man die
> Dimension hier nicht mit der Dimensionsformel ausrechnen
> kann, so wie es vorher hier getan wurde?
> Der R ist doch nicht endlich erzeugt, falls ich mich nicht
> täusche.
[mm] \IR [/mm] ist als Vektorraum über [mm] \IR [/mm] endlich erzeugt, eine Basis ist (1), denn man kann jede reelle Zahl, also jeden Vektor aus [mm] \IR, [/mm] erzeugen, indem man die Zahl 1 mit einer Zahl aus dem Körper [mm] \IR [/mm] der rellen Zahlen multipliziert.
Beispiel: [mm] \wurzel{2} [/mm] ist ein Element des VRes [mm] \IR, [/mm] und man kann sie als Linearkombination der 1 darstellen: [mm] \wurzel{2}=2*\wurzel{2}.
[/mm]
Allerdings: betrachtet man den VR [mm] \IR [/mm] als VR über dem Körper [mm] \IQ, [/mm] dann hast Du recht: dies ist kein endlich erzeugter VR.
Hier in der Aufgabe wird eine Abbildung betrachtet, welche aus dem [mm] \IR^4 [/mm] in den [mm] \IR^3 [/mm] abbildet. Es steht nicht da, aber üblicherweise werden diese Räume als VRe über dem Körper [mm] \IR [/mm] betrachtet.
Also solche hat [mm] \IR^4 [/mm] die Dimension 4 und [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3.
Und weil die endlichdimensional sind, kann man auch eine Darstellungsmatrix endlichen Formats aufschreiben.
Ich hoffe, daß Deine Fragen beantwortet sind.
Deine eigene Aufgabe kannst Du gern auch in einem eigenen Thread einstellen.
LG Angela
> Weiß einer mehr?
> Dankeschön!
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