Dimension von V über einem Unterkörper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 So 20.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
und mal wieder hänge ich an eine Aufgabe:
Seien [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]L \subseteq K[/mm] ein Unterkörper, d. h. die in [mm]K[/mm] vorhandene Addition führt ebenso wie die Multiplikation nicht aus [mm]L[/mm]heraus, und [mm]L[/mm] erfüllt die Körperaxiome wie z. B. [mm]L = \IR[/mm] in [mm]K = \IC[/mm]. Dann kann jeder K-Vektorraum [mm]V[/mm] auch als L-Vektorraum betrachtet werden, insbesondere auch [mm]K[/mm] selbst. Zeige:
[mm]dim_L V = (dim_L K) * (dim_K V)[/mm],
falls diese Dimensionen existieren.
Ich habe mir versucht diese Aufgabe erst mal bildlich vorzustellen:
Es gilt auf jeden Fall: [mm]dim_L V \ge dim_K V[/mm], weil man mit einem größeren Körper weniger Vektoren aus [mm]V[/mm] braucht, um ganz [mm]V[/mm] darzustellen. Also müsste es sich bei [mm]dim_L K (\ge 0)[/mm] um einen "Faktor" handeln, der dann für die Gleichheit sorgt. Ich kann mir also in etwa vorstellen, was die Gleichung aussagt, finde aber keinen Beweis.
Meine Tutorin hat uns diesen Tipp gegeben:
dim(V)=Anzahl der Basisvektoren! Ihr dürft annehmen, dass die Dimensionen endlich sind! Bastelt euch eine Basis für V über L und zeigt, dass sie lin. unabh. und EZS ist.
Damit bin ich aber auch nicht weiter gekommen.
Vielleicht könnt ihr mir einen "besseren" Tipp geben 
Liebe Grüße
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bernhard,
> Seien [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]L \subseteq K[/mm] ein Unterkörper, d. h.
> die in [mm]K[/mm] vorhandene Addition führt ebenso wie die
> Multiplikation nicht aus [mm]L[/mm]heraus, und [mm]L[/mm] erfüllt die
> Körperaxiome wie z. B. [mm]L = \IR[/mm] in [mm]K = \IC[/mm]. Dann kann jeder
> K-Vektorraum [mm]V[/mm] auch als L-Vektorraum betrachtet werden,
> insbesondere auch [mm]K[/mm] selbst. Zeige:
> [mm]dim_L V = (dim_L K) * (dim_K V)[/mm],
> falls diese Dimensionen
> existieren.
>
> Ich habe mir versucht diese Aufgabe erst mal bildlich
> vorzustellen:
> Es gilt auf jeden Fall: [mm]dim_L V \ge dim_K V[/mm], weil man mit
> einem größeren Körper weniger Vektoren aus [mm]V[/mm] braucht, um
> ganz [mm]V[/mm] darzustellen. Also müsste es sich bei [mm]dim_L K (\ge 0)[/mm]
> um einen "Faktor" handeln, der dann für die Gleichheit
> sorgt. Ich kann mir also in etwa vorstellen, was die
> Gleichung aussagt, finde aber keinen Beweis.
Deine Vorstellung ist ja auch recht vage...
> Meine Tutorin hat uns diesen Tipp gegeben:
> dim(V)=Anzahl der Basisvektoren! Ihr dürft annehmen, dass
> die Dimensionen endlich sind! Bastelt euch eine Basis für V
> über L und zeigt, dass sie lin. unabh. und EZS ist.
> Damit bin ich aber auch nicht weiter gekommen.
> Vielleicht könnt ihr mir einen "besseren" Tipp geben
Ich schlage vor, wir stellen uns die Situation mal für dein obiges Beispiel [mm] L=\IR [/mm] und [mm] K=\IC [/mm] vor, dann dürfte der allgemeine Beweis insbesondere mit dem Tipp deiner Tutorin eine reine Formsache sein.
Mein Beispiel ist also [mm] $L=\IR, K=\IC, V=\IC^3$.
[/mm]
Eine komplexe Zahl läßt sich ja auch als zweidimensionaler reeller Vektor auffassen, durch die Identifizierung [mm] $a+b*i=:\vektor{a\\b}$ [/mm] (man sagt auch [mm] $\IC$ [/mm] sei isomorph zu [mm] $\IR^2$, [/mm] in Zeichen [mm] $\IC\cong\IR^2$). [/mm] Das dürfte bekannt sein.
Deswegen ist [mm] $\dim_L K=\dim_\IR \IC=2$.
[/mm]
Aus demselben Grund ist [mm] $\IC^3\cong\IR^6$, [/mm] was man leicht durch dieselbe Identifizierung wie oben einsieht:
[mm] $\vektor{z_1\\z_2\\z_3}=\vektor{a_1+b_1*i\\a_2+b_2*i\\a_3+b_3*i}=:\vektor{a_1\\b_1\\a_2\\b_2\\a_3\\b_3}$
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $\dim_L V=\dim_L K*\dim_K [/mm] V$
[mm] $\gdw\ \dim_\IR \IC^3=\dim_\IR \IC*\dim_\IC \IC^3$
[/mm]
[mm] $\gdw\ [/mm] 6=2*3$
Ich hoffe, dass dir jetzt der Ansatz gelingt, das etwas allgemeiner mit dem Tipp deiner Tutorin zu zeigen...
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Mo 21.06.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo marc,
erst mal danke für deine Antwort. ABER... ich komme mal wieder trotzdem nicht weiter :(
Ich habe es nach deinem Beispiel noch mal mit dem Tipp meiner Tutorin versucht:
Man kann als Basis ja einfach eine kanonische Basis wählen. [mm]dim_L V = n[/mm], also wäre die Basis dann [mm]B = \{e_1,...,e_n\}[/mm]. Es ist klar, dass diese Basis lin. unabh. und EZS ist. Jetzt weiß ich aber nicht, was ich damit anfangen soll?!?
Bernhard (der Unwissende)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:15 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bernhard,
> Ich habe es nach deinem Beispiel noch mal mit dem Tipp
> meiner Tutorin versucht:
> Man kann als Basis ja einfach eine kanonische Basis
> wählen. [mm]dim_L V = n[/mm], also wäre die Basis dann [mm]B = \{e_1,...,e_n\}[/mm].
> Es ist klar, dass diese Basis lin. unabh. und EZS ist.
> Jetzt weiß ich aber nicht, was ich damit anfangen soll?!?
Mmh, ja, so ungefähr.
Ich hoffe aber, dass dir die Aussage mit meinem Beispiel klar geworden ist, und dass das eigentliche Problem nur im Aufschreiben besteht.
Wir wollen also zeigen:
Seien [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]L \subseteq K[/mm] ein Unterkörper, d. h. die in [mm]K[/mm] vorhandene Addition führt ebenso wie die Multiplikation nicht aus [mm]L[/mm]heraus, und [mm]L[/mm] erfüllt die Körperaxiome wie z. B. [mm]L = \IR[/mm] in [mm]K = \IC[/mm].
Dann kann jeder K-Vektorraum [mm]V[/mm] auch als L-Vektorraum betrachtet werden, insbesondere auch [mm]K[/mm] selbst. Zeige:
[mm]\dim_L V = (\dim_L K) * (\dim_K V)[/mm],
falls diese Dimensionen existieren.
Der entscheidende Hinweis ist --finde ich  -- dass K selbst auch als Vektorraum über L aufgefasst werden kann (wie man das zeigt, ist mir jetzt gerade nicht klar, aber das ist ja auch nicht Aufgabe).
Da K eine L-Vektorraum ist, sei also [mm] $u_1,\ldots,u_n\in L^n$ [/mm] eine Basis für K, und [mm] $v_1,\ldots,v_m\in K^m$ [/mm] eine Basis für [mm] $V=K^m$ [/mm] (klar: [mm] $n=\dim_L [/mm] K$ und [mm] $m=\dim_K [/mm] V$)
Ein Vektor [mm] $v\in [/mm] V$ hat also diese Komponentenschreibweise: [mm] $v=a_1*v_1+\ldots+a_m*v_m=\vektor{a_1\\\vdots\\a_m}$ [/mm] mit [mm] $a_1,\ldots,a_m\in [/mm] K$.
Nun sind diese Koeffizienten der Basisvektoren (also die Komponenten des Vektors) ebenfalls Vektoren, wenn man sie über dem Körper L auffasst:
[mm] $K\ni a_1=a_{11}*u_1+\ldots+a_{1n}*u_n$ [/mm] mit [mm] $a_{11},\ldots,a_{1n}\in [/mm] L$
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $K\ni a_m=a_{m1}*u_1+\ldots+a_{mn}*u_n$ [/mm] mit [mm] $a_{m1},\ldots,a_{mn}\in [/mm] L$
Der Vektor v von oben hätte dann diese Komponentenschreibweise: [mm] $\vektor{a_{11}*u_1+\ldots+a_{1n}*u_n\\\vdots\\a_{m1}*u_1+\ldots+a_{mn}*u_n}$, [/mm] ein bisschen schöner aufgeschrieben (eben nur die Koeffizienten der Basis [mm] $u_i$):
[/mm]
[mm] $v=\vektor{a_{11}\\\vdots\\a_{1n}\\a_{21}\\\vdots\\a_{2n}\\\vdots\\a_{m1}\\\vdots\\a_{mn}}$
[/mm]
(Deswegen ist V isomorph zu [mm] $\underbrace{\overbrace{\underbrace{(L\times\ldots\times L)}_{n \mbox{\scriptsize{ mal}}}}^{\cong K}\times\ldots\times\underbrace{(L\times\ldots\times L)}_{n \mbox{\scriptsize{ mal}}}}_{m \mbox{\scriptsize{ Blöcke}}}=L^n\times\ldots\times L^n=(L^n)^m$)
[/mm]
Die Antwort muß ich hier jetzt leider abbrechen, weil ich zu müde bin, werde sie aber morgen früh weiter führen.
Es fehlt noch die Angabe einer Basis.
Marc
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Di 22.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Bernhard,
jetzt noch zur Basis.
Eine Basis wäre doch (mit den Bezeichnungen aus dem vorherigen Artikel) einfach dieses hier:
[mm] $(\underbrace{u_1,0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{0,u_2,0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{0,\ldots,0,u_n}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{u_1,0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{0,0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{0,u_2,0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
[mm] $\vdots$
[/mm]
[mm] $(\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\underbrace{0,\ldots,0}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}},\ldots,\ldots,\underbrace{0,\ldots,0,u_n}_{n\mbox{\scriptsize{ Komponenten}}})$
[/mm]
Auf diese Weise erhalten wir $n*m$ Basisvektoren, sozusagen die ersten n für die Darstellung der ersten Komponente [mm] a_1 [/mm] des Vektors [mm] $v\in [/mm] V$ über L, die zweiten n für die zweite
Komponente etc.
Das diese linear unabhängig sind, ist klar es bleibt die Erzeugenden-Eigenschaft zu zeigen, aber das dürfte mit meinem vorherigen Artikel kein Problem sein. Falls doch, melde dich bitte wieder.
Viele Grüße,
Marc
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