Dimensionen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:58 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Edi1982 |
Hallo Leute,
Ich habe hier eine Übungsaufgabe bekommen, in der es um Dimensionen geht. Habe aber keine Ahnung wie man die Dimension bestimmt.
Aufgabe:
Im [mm] \IR [/mm] - Vektorraum [mm] \IR^{4} [/mm] seien 2 Unterräume U und W gegeben durch:
U = <(1,1,2,1),(0,-2,1,0),(1,-1,3,1)>,
W = <(3,1,7,3),(-3,2,-5,-1),(0,3,2,2)>.
Bestimmen sie die Dimensionen von U, W, U+W, U [mm] \cap [/mm] W
Es wäre nett, wenn mir jemand helfen würde.
z.B. Die Bestimmung von Dimensionen an einem Beispiel erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:29 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo Edi,
> Aufgabe:
> Im [mm]\IR[/mm] - Vektorraum [mm]\IR^{4}[/mm] seien 2 Unterräume U und W
> gegeben durch:
>
> U = <(1,1,2,1),(0,-2,1,0),(1,-1,3,1)>,
> W = <(3,1,7,3),(-3,2,-5,-1),(0,3,2,2)>.
>
> Bestimmen sie die Dimensionen von U, W, U+W, U [mm]\cap[/mm] W
Beispiel U:
Die drei gegebene Vektoren sind ein Erzeugendensystem für den Vektorraum U (denn so ist dieser definiert).
Was ist nun die Dimension? Die Dimension ist die Anzahl der Vektoren in einer Basis, d.h. die Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die denselben Raum aufspannen.
Was mußt du also tun, um die Dimensionen zu bestimmen?
1) Schaue, ob die Vektoren des Erzeugendensystems linear unabhängig sind. Wenn ja, dann hast du es geschafft und die Dimension ist die Anzahl dieser Vektoren.
2) Falls nicht, dann "streiche" so lange linear abhängige Vektoren, bis die übrig gebliebenen linear unabhängig sind.
Diese Beschreibung war jetzt sehr intuitiv. Ich würde dir empfehlen, dir die Definitionen und Sätze noch einmal genau anzuschauen, um genauer zu verstehen, was Erzeugendensystem/Basis und Dimension bedeutet. Falls du dabei etwas nicht verstehst, kannst du ja hier gezielt nachfragen!
Viele Grüße
Astrid
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