Dimensionsformel für lin. Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | Sei f: V-->W eine lineare Abbildung von Vektorräumen. Zeigen Sie:
a) Wenn [mm] v_{1},...,v_{r} \in [/mm] V linear abhängig sind, dann auch [mm] f(v_{1}),...,f(v_{r}) \in [/mm] W.
b) Für jeden Untervektorraum U [mm] \subset [/mm] V ist dim f(U) [mm] \le [/mm] dim U.
c) f ist injektiv genau dann, wenn jedes System linear unabhängiger [mm] v_{1},...,v_{r} \in [/mm] V auf linear unabhängige [mm] f(v_{1}),...,f(v_{r}) \in [/mm] W abgebildet wird.
d) f ist injektiv genau dann, wenn dim f(U) = dim U gilt für jeden Untervektorraum U von V. |
Hi,
also a) habe ich bereits gelöst.
Bei der b) bin ich aber echt am verzweifeln. Ich weiß einfach nicht wie ich das angehen soll. Im Jänich ist zwar der Beweis drin, aber verstehen tu ich den auch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:36 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was verstehst du denn nicht an dem beweis im Jänisch?
Warum stimmt die Umkehrung von a) nicht d.h. wenn v1.... [mm] v_n [/mm] linear unabh so auch f(v1)... f(vn) lin unabhaengig ist falsch.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Mi 12.11.2008 | | Autor: | Kocram |
> Hallo
> Was verstehst du denn nicht an dem beweis im Jänisch?
Also er setzt ja [mm] w_{i}=f(v_{k+1}) [/mm] für i=1,...,n-k.
Das heißt dann ja, dass [mm] w_{1}=...=w_{n-k}=f(v_{k+1}), [/mm] oder?
Und warum gilt:
[mm] f(\lambda_{1}v_{1}+...+\lambda_{n}v_{n})=\lambda_{k+1}w_{1}+...+\lambda_{n}w_{n-k}?
[/mm]
> Warum stimmt die Umkehrung von a) nicht d.h. wenn v1....
> [mm]v_n[/mm] linear unabh so auch f(v1)... f(vn) lin unabhaengig ist
> falsch.
> Gruss leduart
Man kommt durch [mm] f(0*v_{1},...,0*v_{n})=0 [/mm] ja wieder auf f(0)=0 und damit wäre [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] wieder lin. abhängig.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mi 12.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. was du mit dem Satz :
"Man kommt durch $ [mm] f(0\cdot{}v_{1},...,0\cdot{}v_{n})=0 [/mm] $ ja wieder auf f(0)=0 und damit wäre $ [mm] f(v_{1}),...,f(v_{n}) [/mm] $ wieder lin. abhängig."
sagen willst versteh ich nicht. Soll das ein Beweis fuer a) sein oder meine Frage beantworten? beides tut es nicht. aus f(0)=0 folgt nicht irgendwas. und ob die [mm] v_i [/mm] abhaengig oder nicht sind [mm] f(0*v1+..........+0*v_k)=0 [/mm] sagt uber Abh. oder nicht abh. nix aus.
Den jaenisch hab ich grad nicht da, deshalb fehlen mir ein paar vors. um was zu dem einzelnen satz zu sagen.
Tatsache ist. Wenn f V auf V abbildet ist der Rang gleich. deshalb nimm an dimW<dimV
jetzt nimm einen Unterraum U der Dimension k<n.
d.h. es gibt eine Basis auf U mit k lin unabh. Vektoren v1 bis [mm] v_k
[/mm]
jeder weitere Vektor [mm] v_{k+1} [/mm] kann aus den anderen zusammengestzt werden. jetzt betrachte die Bilder von [mm] v_1 [/mm] bis [mm] v_{k+1} [/mm] nach a sind die wieder lin abh.
Kommst du damit zu Ende.
Gruss leduart
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