Dimnsion,lineare Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien V,W VR über einen Körper K von gleicher Dimension n [mm] \in \IN.
[/mm]
a)Zeigen sie für eine lineare Abbildung f: [mm] V\toW [/mm] : f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] f ist surjektiv [mm] \gdw [/mm] f ist bijektiv
b) Es sei nun U ein UR von V. Zeigen Sie, dass [mm] dim_{K}(U) \le dim_{K} [/mm] und folgern Sie: [mm] dim_{K}(U) [/mm] = [mm] dim_{K}(V) \gdw [/mm] U=V |
also mal zu der a)
kann ich da folgern : [mm] dim_{K}(W) [/mm] = [mm] dim_{K}(V) \gdw [/mm] V=W ?
also ich muss ja nur zeigen das : f inj [mm] \gdw [/mm] f surj ist
Mein anstaz war also: (v [mm] \in [/mm] V , k [mm] \in [/mm] K)
es gilt: f(v1 + v2 ) = f(v1) + f(v2)
f(kv) = k * f(v)
f inj: f(v)=f(v') => v=v'
aus f(v1 +v2) = f (v1' +v2')
folgt f(v1)+f(v2) = f(v1') + f(v2')
und aus f(kv) = f(k'v')
folgt k*f(v) = k'*f(v')
Angenommen f ist nicht surjektiv, dann gilt :
[mm] \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] V: [mm] w\not\in [/mm] Im(f)
nun komm ich nicht mehr wirklich weiter...
also wenn das bis hierher stimmt weiß ich ja das alle
f(v) wieder [mm] \in [/mm] V sind ... ich komm aber nicht auf den Widerspruch.
ich hoffe mir kann jmd weiterhelfen.
mfg ConstantinJ
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:48 Do 08.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Vergiss, was Du oben gemacht hast.
Es gilt die Formel
dim V = dim ker(f) + dim im(f)
Hilfts ?
FRED
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