Diophantische Gleichung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mo 02.11.2009 | | Autor: | wauwau |
| Aufgabe | Seien p,q verschiedene ungerade Primzahlen.
Unter welchen Bedingungen hat die Gleichung
$p(q-1)x-(p-1)qy=2$
eine, mehrere ganzzahlige Lösungen für $x,y$ |
Also ich weiß, dass $ggt(p(q-1), (p-1)q) = ggt(q-1,p-1) [mm] \ge [/mm] 2$
wenn dieser $ggt(q-1, p-1)=2$ dann gibts eine Lösung nach Lemma von Bezout
- Ist die Lösung nach diesem Lemma eindeutig?
- was ist, wenn ggt > 2 ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mo 02.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Seien p,q verschiedene ungerade Primzahlen.
> Unter welchen Bedingungen hat die Gleichung
> [mm]p(q-1)x-(p-1)qy=2[/mm]
> eine, mehrere ganzzahlige Lösungen für [mm]x,y[/mm]
> Also ich weiß, dass [mm]ggt(p(q-1), (p-1)q) = ggt(q-1,p-1) \ge 2[/mm]
>
> wenn dieser [mm]ggt(q-1, p-1)=2[/mm] dann gibts eine Lösung nach
> Lemma von Bezout
> - Ist die Lösung nach diesem Lemma eindeutig?
> - was ist, wenn ggt > 2 ???
Hallo,
es sind sowohl q-1 als auch p-1 gerade.
Wenn die Differenz zweier gerader Zahlen 2 ist, dürfen nicht beide durch 4 teilbar sein. Es muss eine durch 4 und die andere nicht durch 4 aber durch 2 teilbar sein.
Damit gilt es keine Lösungen, wenn [mm] p\equiv [/mm] q mod 4 gilt.
Wenn das Paar (x;y) eine Lösung ist, dann ist auch (x+(p-1)qy ; y+(q-1)px) eine Lösung.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Mo 02.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Seien p,q verschiedene ungerade Primzahlen.
> Unter welchen Bedingungen hat die Gleichung
> [mm]p(q-1)x-(p-1)qy=2[/mm]
> eine, mehrere ganzzahlige Lösungen für [mm]x,y[/mm]
> Also ich weiß, dass [mm]ggt(p(q-1), (p-1)q) = ggt(q-1,p-1) \ge 2[/mm]
Dies ist eine lineare diophantische Gleichung und hat somit genau dann eine Loesung, wenn $ggT(p (q - 1), (p - 1) q)$ ein Teiler von 2 ist. Nach deiner Bemerkung ist dies genau dann der Fall, wenn $ggT(q - 1, p - 1) = 2$ ist.
Weiterhin: wenn es eine Loesung gibt, dann bereits unendlich viele: ist [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] eine Loesung, so ist die vollstaendige Loesungsmenge durch [mm] $\{ (x_0 - \frac{(p - 1) q}{2} z, y_0 + \frac{(q - 1) p}{2} z) \mid z \in \IZ \}$ [/mm] gegeben: insbesondere ist sie unendlich.
LG Felix
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