Dirac Delta Grundsatzfrage < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:44 Mi 07.11.2012 | | Autor: | colden |
| Aufgabe | Wenn:
[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}=1 [/mm]
Gilt dann auch:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\delta(x) dx}=\bruch{1}{2} [/mm]
? |
Hab die Relation noch nirgends gesehen, aber eigentlich müsste es ja so sein, da die Funktion unendlich dünn auf dem 0 Punkt sitzt und man dann nur quasi die halbe Fkt integriert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:43 Mi 07.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}=1[/mm]
>
> Gilt dann auch:
>
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\delta(x) dx}=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> ?
> Hab die Relation noch nirgends gesehen, aber eigentlich
> müsste es ja so sein, da die Funktion unendlich dünn auf
> dem 0 Punkt sitzt und man dann nur quasi die halbe Fkt
> integriert
Nein, das ist überhaupt nicht definiert. "Unendlich dünn" ist hier mathematischer Unsinn. Wenn die Funktion [mm] $\delta$ [/mm] nur an einem Punkt von 0 verschieden ist, dann ist das Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}[/mm]
Null, in jedem Integralbegriff. Dieses Integral ist überhaupt kein Integral im üblichen Sinne (und das hat Dirac auch ganz genau gewusst, als er das hingeschrieben hat). Leider wird das gerne unterschlagen, wenn [mm] $\delta$ [/mm] eingeführt wird. Siehe auch ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution.
[mm] $\delta$ [/mm] ist keine Funktion, sondern eine Distribution (verallgemeinerte Funktion). Distributionen kann man entweder als Integrale schreiben (für sog. reguläre Distributionen) oder als Grenzwerte von Integralen (singuläre Distributionen). [mm] $\delta$ [/mm] ist das Paradebeispiel einer singulären Distribution, das angebliche Integral
[mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) f(x) dx} = f(0)[/mm] .
ist lediglich ein recht unpräzise Schreibweise dafür, dass für jede Folge [mm] $\delta_k$ [/mm] von regulären Distributionen, die gegen [mm] $\delta$ [/mm] konvergiert und für jede Testfunktion f gilt:
[mm] \limes_{k\to\infty} \integral_{-\infty}^{+\infty} \delta_k(x) f(x) dx = f(0) [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Mi 07.11.2012 | | Autor: | colden |
Ja so dachte ich mir das auch, aber im Nolting E-Dynamik Seite 419 ist folgende Aufgabe:
Es wird ein unendlich langer, unendlich dünner Draht der Linienladung k betrachtet, es soll die Raumladungsdichte bestimmt werden:
[mm] kl = \integral_{0}^{l}{dz} \integral_{0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{0}^{R}{\alpha (r) \delta (r) r dr} [/mm]
Nur [mm]\alpha(r)= \bruch{a}{r}[/mm] führt nicht zum Widerspruch.
[mm] kl = 2\pi la \integral_{0}^{R}{\delta(r) dr}= \pi la [/mm]
[mm] \rho (\vec r) = \bruch{k}{\pi r} \delta (r) [/mm]
Das macht aber keinen Sinn wenn [mm]\integral_{0}^{R}{\delta(r) dr}\not= \bruch{1}{2} [/mm]
Außerdem verstehe ich nicht so recht wieso er so einfach sagen konnte dass
[mm]\alpha(r)= \bruch{a}{r}[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 07.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Ja so dachte ich mir das auch, aber im Nolting E-Dynamik
> Seite 419 ist folgende Aufgabe:
>
> Es wird ein unendlich langer, unendlich dünner Draht der
> Linienladung k betrachtet, es soll die Raumladungsdichte
> bestimmt werden:
>
> [mm]kl = \integral_{0}^{l}{dz} \integral_{0}^{2\pi}{d\phi}\integral_{0}^{R}{\alpha (r) \delta (r) r dr}[/mm]
>
> Nur [mm]\alpha(r)= \bruch{a}{r}[/mm] führt nicht zum Widerspruch.
>
> [mm]kl = 2\pi la \integral_{0}^{R}{\delta(r) dr}= \pi la[/mm]
>
> [mm]\rho (\vec r) = \bruch{k}{\pi r} \delta (r)[/mm]
>
> Das macht aber keinen Sinn wenn [mm]\integral_{0}^{R}{\delta(r) dr}\not= \bruch{1}{2}[/mm]
ich muss Dir, rainerS da leider widersprechen, denn zumindest in der Physik ist das genau so definiert. Es gilt:
[mm] $\int_a^bf(x)\delta(x-x_0)\,\mathrm{d}x=\begin{cases}
f(x_0) & a
Das kannst Du auch auf Seite 8 im Nolting und in diversen anderen (Physik-) Büchern nachlesen.
Ob das nun mathematisch 100% korrekt ist, wage ich nicht zu beurteilen.
>
> Außerdem verstehe ich nicht so recht wieso er so einfach
> sagen konnte dass
Forme das Integral um:
$ [mm] \frac{\kappa}{2\pi}=\integral_{0}^{R}\underbrace{\alpha(r)r}_{f(r):=}{\delta(r)\,\mathrm{d}r}=\integral_{0}^{R}f(r){\delta(r)\,\mathrm{d}r}$
[/mm]
Verwende jetzt die Eigenschaft der [mm] $\delta$-Distribution. [/mm] Es muss nun gelten: [mm] $\frac{1}{2}f(0)=\frac{\kappa}{2\pi}$
[/mm]
Was folgt daraus für [mm] $\alpha(r)$?
[/mm]
>
> [mm]\alpha(r)= \bruch{a}{r}[/mm]
Gruß,
notinX
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 18:31 Mi 07.11.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo rainerS
> Hallo!
>
> > Wenn:
> >
> > [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}=1[/mm]
> >
> > Gilt dann auch:
> >
> > [mm]\integral_{0}^{\infty}{\delta(x) dx}=\bruch{1}{2}[/mm]
> >
> > ?
> > Hab die Relation noch nirgends gesehen, aber eigentlich
> > müsste es ja so sein, da die Funktion unendlich dünn auf
> > dem 0 Punkt sitzt und man dann nur quasi die halbe Fkt
> > integriert
>
> Nein, das ist überhaupt nicht definiert. "Unendlich dünn"
da habe ich was anderes gelernt, siehe unten.
> ist hier mathematischer Unsinn. Wenn die Funktion [mm]\delta[/mm]
> nur an einem Punkt von 0 verschieden ist, dann ist das
> Integral
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) dx}[/mm]
>
> Null, in jedem Integralbegriff. Dieses Integral ist
> überhaupt kein Integral im üblichen Sinne (und das hat
> Dirac auch ganz genau gewusst, als er das hingeschrieben
> hat). Leider wird das gerne unterschlagen, wenn [mm]\delta[/mm]
> eingeführt wird. Siehe auch
> https://de.wikipedia.org/wiki/Delta-Distribution.
>
> [mm]\delta[/mm] ist keine Funktion, sondern eine Distribution
> (verallgemeinerte Funktion). Distributionen kann man
> entweder als Integrale schreiben (für sog. reguläre
> Distributionen) oder als Grenzwerte von Integralen
> (singuläre Distributionen). [mm]\delta[/mm] ist das Paradebeispiel
> einer singulären Distribution, das angebliche Integral
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}{\delta(x) f(x) dx} = f(0)[/mm] .
>
> ist lediglich ein recht unpräzise Schreibweise dafür,
> dass für jede Folge [mm]\delta_k[/mm] von regulären
> Distributionen, die gegen [mm]\delta[/mm] konvergiert und für jede
> Testfunktion f gilt:
>
> [mm]\limes_{k\to\infty} \integral_{-\infty}^{+\infty} \delta_k(x) f(x) dx = f(0)[/mm]
> .
>
>
> Viele Grüße
> Rainer
Gruß,
notinX
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