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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:33 Mo 29.05.2006 | | Autor: | murmel |
| Aufgabe | Beweisen Sie direkt, dass für zwei spitze Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] gilt:
sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] |
Hallo,
der Lösungsansatz scheint sicherlich trivial, aber irgendwie schaffe ich es nicht auf die o.g. Behauptung zu schließen.
Mein Lösungsansatz (Variante I):
Voraussetzung: [mm] \alpha [/mm] < 90°; [mm] \beta [/mm] < 90° bzw. 0° < [mm] \alpha [/mm] < 90°; 0° < [mm] \beta [/mm] < 90°
Um auf die o.g. Behauptung zu schliessen, denke ich, sollte ein Winkel abhängig vom anderen sein, oder ist das falsch?
Denn so kann ich schreiben:
Voraussetzung: [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - 1
D.h.: [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - 1 [mm] \Rightarrow \beta [/mm] < [mm] \alpha
[/mm]
Erster Schritt: Ich bilde den Sinus auf beiden Seiten der Ungleichung!
[mm] \beta [/mm] < [mm] \alpha [/mm] |sin
sin [mm] \beta [/mm] < sin [mm] \alpha
[/mm]
Zweiter Schritt, ich addiere mit sin [mm] \beta:
[/mm]
sin [mm] \beta [/mm] < sin [mm] \alpha [/mm] |+ sin [mm] \beta
[/mm]
sin [mm] \beta [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] < sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta
[/mm]
Leider komme ich damit nicht auf das oben Gegebene.
Lösungsansatz (Variante II):
Voraussetzung: [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] < 90°
[mm] \gamma \equiv \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm]
[mm] \gamma [/mm] < 90° |sin
sin [mm] \gamma [/mm] < sin 90°
ODER
sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < sin 90° und [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - 1
Überlegung: Der Sinus von 90° ist 1. Es muss mindestens eine Summe aus sin [mm] \alpha [/mm] und sin [mm] \beta [/mm] geben für die die Lösung 1 existiert. Also:
1 = sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta
[/mm]
Weiter:
So ist sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < sin 90° [mm] \Rightarrow [/mm] sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < 1
Und Weiter:
sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta
[/mm]
Bis dahin sieht es so aus als würde es stimmen, aber habe ich damit bewiesen,
dass die Behauptung gültig ist? Offensichtlich nicht, denn es gilt nur für alle [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] die die Gleichung 1 = sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] erfüllen.
Setze ich jedoch für die Gleichung sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] < sin [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \beta [/mm] für [mm] \beta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] - 1 ein, scheint die Behauptung als bewiesen, wenn [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] < 90°!
Wo ist mein Denkfehler? Bitte nur einen Denkanstoß geben,
bitte nicht den Lösungsweg niederschreiben!
Danke schon im Voraus!
Mit freundlichen Grüßen
Marcel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo murmel!
> Mein Lösungsansatz (Variante I):
>
> Voraussetzung: [mm]\alpha[/mm] < 90°; [mm]\beta[/mm] < 90° bzw. 0° < [mm]\alpha[/mm]
> < 90°; 0° < [mm]\beta[/mm] < 90°
>
> Um auf die o.g. Behauptung zu schliessen, denke ich, sollte
> ein Winkel abhängig vom anderen sein, oder ist das falsch?
Ja, das sehe ich als falsch an: die Aufgabenstellung gibt zwei unabhängige Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] vor.
> Lösungsansatz (Variante II):
>
> Voraussetzung: [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] < 90°
Auch diese Forderung ist zu streng. Schließlich schließt die Aufgabenstellung z.B. den Fall [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] \beta [/mm] \ = \ 80°$ nicht aus.
Und hier gilt eindeutig: [mm] $\alpha+\beta [/mm] \ > \ 90°$ !!
Mein Lösungsansatz mittels Additionstheorem:
[mm] [quote]$\sin(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha)*\cos(\beta)+\cos(\alpha)*\sin(\beta)$[/quote]
[/mm]
Nun nutze aus, dass gilt: $0 \ < \ [mm] \varphi [/mm] \ < \ 90°$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ < \ [mm] \cos(\varphi) [/mm] \ < \ 1$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
Bitte eine beantwortete oder mit Lösungshinweisen versehene Frage nicht kommentarlos wieder auf "unbeantwortet" verstellen. Falls noch etwas unklar sein sollte, stelle auch konkrete Rückfragen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Mo 29.05.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo Loddar!
Anfangs dachte ich es müsste über das Additionstheorem zu lösen sein, jedoch verwarf ich diese Idee wieder, weil es mir zu abwägig erschien. So kann man sich irren. Ich dachte die Lösung liegt auf der sprichwörtlichen Hand.
cos [mm] \phi [/mm] steht als Winkel für cos [mm] \alpha [/mm] als auch für cos [mm] \beta?
[/mm]
Ich bräuchte bitte noch ein "Hilfeseil".
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 29.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marcel!
> cos [mm]\phi[/mm] steht als Winkel für cos [mm]\alpha[/mm] als auch für cos [mm]\beta?[/mm]
Ganz genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") ...
Und damit gilt auch: [mm] $\sin(\alpha)*\cos(\beta) [/mm] \ < \ [mm] \sin(\alpha)$ [/mm] bzw. [mm] $\cos(\alpha)*\sin(\beta) [/mm] \ < \ [mm] \sin(\beta)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:10 Mo 29.05.2006 | | Autor: | murmel |
Ich halte fest:
Die Winkel [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] sind also unabhängig voneinander.
Es gilt: ( [mm] \alpha [/mm] < 90°) [mm] \wedge [/mm] ( [mm] \beta [/mm] < 90°) [mm] \Rightarrow [/mm] 0 < [mm] \phi [/mm] < 90°. Da beide Winkel spitze Winkel sind!
Dann kam ich zu folgender Überlegung (Nein, ich bin ehrlich, ich habe es anhand von Zahlenbeispielen ausprobiert):
Solange [mm] \phi \le [/mm] 180 ist, ist die Aussage sin [mm] (\alpha) [/mm] > sin [mm] (\alpha) [/mm] cos [mm] (\beta) [/mm] und
sin [mm] (\beta) [/mm] > sin [mm] (\beta) [/mm] cos( [mm] \alpha) [/mm] wahr! In diesem Fall ist [mm] \phi [/mm] eh kleiner als 90°. Dann gilt auch 1.1 und 1.2.
Habe ich das jetzt richtig verstanden?
Nach dem Additionstheorem aus 1.0
1.0 sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] = sin [mm] (\alpha) [/mm] cos [mm] (\beta) [/mm] + sin [mm] (\beta) [/mm] cos [mm] (\alpha)
[/mm]
1.0.1 sin [mm] (\alpha) [/mm] cos [mm] (\beta) [/mm] + sin [mm] (\beta) [/mm] cos [mm] (\alpha)
[/mm]
Mit Berücksichtigung der Bedingung, dass
1.1 sin [mm] (\alpha) [/mm] > sin [mm] (\alpha) [/mm] . cos [mm] (\beta)
[/mm]
1.2 sin [mm] (\beta) [/mm] > sin [mm] (\beta) [/mm] . cos [mm] (\alpha) [/mm]
ist.
Wenn nun Der Sinus eines Winkel [mm] \alpha [/mm] größer ist als das Produkt aus sin [mm] (\beta) [/mm] und cos [mm] (\alpha) [/mm] wie 1.1 und
1.2 , dann ist die Summe aus sin [mm] (\alpha) [/mm] und sin [mm] (\beta) [/mm] ebenfalls größer als die Summe der Produkte aus 1.0.1 .
Also:
[mm] \Rightarrow [/mm] sin [mm] (\alpha) [/mm] + sin [mm] (\beta) [/mm] > sin [mm] (\alpha) [/mm] cos [mm] (\beta) [/mm] + sin [mm] (\beta) [/mm] cos [mm] (\alpha)
[/mm]
Für den rechten Term aus 1.0 kann man den linken Term ersetzen -also sin [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] - und erhält die Hauptaussage bzw. Behauptung aus der Aufgabenstellung.
Habe ich die Behauptung nun korrekt bewiesen?
Für mich klingt es logisch, aber ich kenne meine Intuition ja, ich glaub eher das Gegenteil ist der Fall.
PS: Zu meiner Rechtfertigung warum mittlerweile über acht Stunden verstrichen sind:
Ich konnte die Aufgabe eben gerade erst weiter bearbeiten, da ich mich um ein Kind kümmern musste.
Nochmals Danke!
Gruß
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:12 Di 30.05.2006 | | Autor: | murmel |
Hallo Loddar, oder wer auch immer gerade dieses Disskussionsthema liest,
Ist der beschriebene Lösungsweg (siehe Betreff "Lösung?") nun richtig?
Das klingt ein wenig debil, naja, wenns schey mocht... ;-D
Es ist sehr wichtig für mich, nicht weil es um eine zu lösende Aufgabe in der eh schier unendlichen Aufgabenflut im Studium geht, sondern, und das sollte wohl von höchstem Interesse sein, um das Verständnis!
Erbitte eine Antwort
LG
Marcel
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Hallo murmel,
> Die Winkel [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta[/mm] sind also unabhängig
> voneinander.
>
> Es gilt: ( [mm]\alpha[/mm] < 90°) [mm]\wedge[/mm] ( [mm]\beta[/mm] < 90°) [mm]\Rightarrow[/mm]
> 0 < [mm]\phi[/mm] < 90°. Da beide Winkel spitze Winkel sind!
> Dann kam ich zu folgender Überlegung (Nein, ich bin
> ehrlich, ich habe es anhand von Zahlenbeispielen
> ausprobiert):
>
> Solange [mm]\phi \le[/mm] 180 ist, ist die Aussage sin [mm](\alpha)[/mm] >
> sin [mm](\alpha)[/mm] cos [mm](\beta)[/mm] und
> sin [mm](\beta)[/mm] > sin [mm](\beta)[/mm] cos( [mm]\alpha)[/mm] wahr! In diesem Fall
> ist [mm]\phi[/mm] eh kleiner als 90°. Dann gilt auch 1.1 und 1.2.
>
> Habe ich das jetzt richtig verstanden?
Fast
Zur Erklärung noch
[mm] 1>cos(\beta) [/mm] gilt sicher für [mm] 0<\beta<\2*\pi [/mm] ist nun [mm] \pi>\alpha>0 [/mm] so ist [mm] sin(\alpha)>0 [/mm] und man darf damit beide Seiten multiplizieren multiplizieren ohne das sich das Vorzeichen ändert.
>
>
> Nach dem Additionstheorem aus 1.0
>
> 1.0 sin [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] = sin [mm](\alpha)[/mm] cos [mm](\beta)[/mm] +
> sin [mm](\beta)[/mm] cos [mm](\alpha)[/mm]
>
> 1.0.1 sin [mm](\alpha)[/mm] cos [mm](\beta)[/mm] + sin [mm](\beta)[/mm] cos [mm](\alpha)[/mm]
>
> Mit Berücksichtigung der Bedingung, dass
>
> 1.1 sin [mm](\alpha)[/mm] > sin [mm](\alpha)[/mm] . cos [mm](\beta)[/mm]
>
> 1.2 sin [mm](\beta)[/mm] > sin [mm](\beta)[/mm] . cos [mm](\alpha)[/mm]
>
> ist.
>
>
>
> Wenn nun Der Sinus eines Winkel [mm]\alpha[/mm] größer ist als das
> Produkt aus sin [mm](\beta)[/mm] und cos [mm](\alpha)[/mm] wie 1.1 und
>
> 1.2 , dann ist die Summe aus sin [mm](\alpha)[/mm] und sin [mm](\beta)[/mm]
> ebenfalls größer als die Summe der Produkte aus 1.0.1 .
Hier ist in der Beschreibung ein Dreher aber 1.1 und 1.2 sind richtig.
> Also:
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] sin [mm](\alpha)[/mm] + sin [mm](\beta)[/mm] > sin [mm](\alpha)[/mm] cos
> [mm](\beta)[/mm] + sin [mm](\beta)[/mm] cos [mm](\alpha)[/mm]
>
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Für den rechten Term aus 1.0 kann man den linken Term
> ersetzen -also sin [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)[/mm] - und erhält die
> Hauptaussage bzw. Behauptung aus der Aufgabenstellung.
>
> Habe ich die Behauptung nun korrekt bewiesen?
> Für mich klingt es logisch, aber ich kenne meine Intuition
> ja, ich glaub eher das Gegenteil ist der Fall.
Du hast sogar mehr bewiesen da Du für 1.1 und 1.2 die Annahme der Spitzwinkligkeit gar nicht voll ausgenutzt hast(sondern lediglich [mm] 0<\alpha<\pi [/mm] und [mm] 0<\beta<\pi [/mm] ) und diese später auch nicht benutzt wird.
viele Grüße
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Di 30.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathamaduenn!
Reicht dieser 3-Zeiler nicht als Beweis aus:
[mm] $\alpha [/mm] \ [mm] \text{spitzwinklig}$ $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ < \ [mm] \alpha [/mm] \ < \ 90°$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ < \ [mm] \cos(\alpha) [/mm] \ < \ 1$
[mm] $\beta [/mm] \ [mm] \text{spitzwinklig}$ $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ < \ [mm] \beta [/mm] \ < \ 90°$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $0 \ < \ [mm] \cos(\beta) [/mm] \ < \ 1$
Additionstheorem:
[mm] $\red{\sin(\alpha+\beta)} [/mm] \ = \ [mm] \sin(\alpha)*\blue{\cos(\beta)}+\cos(\alpha)*\sin(\beta) [/mm] \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \sin(\alpha)*\blue{1}+\green{\cos(\alpha)}*\sin(\beta) [/mm] \ < \ [mm] \sin(\alpha)+\green{1}*\sin(\beta) [/mm] \ = \ [mm] \red{\sin(\alpha)+\sin(\beta)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Di 30.05.2006 | | Autor: | murmel |
Ja, das hätte schon gereicht Loddar, aber es war notwendig für eine Entscheidung anderer Art, die ich nun getroffen habe.
Habe ich aus einer Mücke einen Elefanten gemacht? Bestimmt!
ABER:
Auch wenn "Patzer" in der Beweisführung enthalten waren, bin ich sehr glücklich dass es richtig war und vor allem das ich es verstanden habe!!! Juhu! ;-D
Vielen Dank Loddar und an allen anderen auch!
Ihr seid spitze!
Grüße
Marcel
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Hallo Loddar,
Sicher kann man das kürzer hinschreiben. Aber zu kurz kann gefährlich werden.
Der Hinweis das man das so machen kann da [mm] sin(\alpha)>0 [/mm] muß auf jeden Fall mit rein sonst würde das so mit dem Abschätzen nicht klappen.
viele Grüße
mathemaduenn
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