Dirichlet-Problem < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Def.: Sei [mm]\Omega\subsetneq\IC_{\infty}, \ \ \zeta_0\in\partial\Omega[/mm]
Eine Barriere in [mm]\zeta_0[/mm] ist eine subharmonische Funktion [mm]b[/mm], definiert auf [mm]\Omega\cap N[/mm], wobei [mm]N[/mm] eine offene Umgebung von [mm]\zeta_0[/mm] ist, so dass gilt:
1) [mm]b<0[/mm] in [mm]\Omega\cap N[/mm]
2) [mm]\lim\limits_{z\to\zeta_0}b(z)=0[/mm]
[mm]\Omega[/mm] heißt regulär, falls eine Barriere in jedem Randpunkt von [mm]\Omega[/mm] existiert.
Satz:
Wenn [mm]\Omega[/mm] ein Gebiet ist, so dass [mm]\IC_{\infty}\setminus\Omega[/mm] mindestens 2 Punkte enthält, so ist [mm]\Omega[/mm] regulär. |
Hallo zusammen,
im Zusammenhang mit der Lösbarkeit des Dirichlet-Problems bin ich auf obigen Satz gestoßen, zu dessen Beweis ich eine Frage habe.
Ich skizziere die wichtigen Schritte ...
zz. ist, dass jeder Randpunkt regulär ist (also eine Barriere existiert).
Dazu schnappt man sich [mm]\zeta_0\in\partial\Omega[/mm] und [mm]\zeta_1\in\partial\Omega\setminus\{\zeta_0\}[/mm], o.E. [mm]\zeta_0=0, \ \ \zeta_1=\infty[/mm].
Dann ist [mm]\Omega\subset\IC\setminus\{0\}[/mm] ein Gebiet, in dem ein holomorpher Zweig des Logarithmus existiert.
Nimmt man nun [mm]N=B(0,1)[/mm] und definiert [mm]b[/mm] auf [mm]\Omega\cap N[/mm] durch:
[mm]b(z)=\operatorname{Re}\left(1/\log z\right)[/mm], so ist klar, dass [mm]b[/mm] eine Barriere in [mm]0[/mm] ist.
So, nun meine Frage(n).
1) Mir ist überhaupt nicht klar, wieso [mm]b[/mm] eine Barriere ist, was an 2) liegen mag ...
2) ich kann mir [mm]\operatorname{Re}\left(1/\log z\right)[/mm] nicht "vorstellen" bzw. mir den Realteil herausschreiben ...
Kann man das irgendwie konkretisieren?
Danke vorab!
Gruß
schachuzipus
|
|
| |
|
Hallo zusammen,
eine Idee:
[mm]\frac{1}{\log z} \ = \frac{1}{\ln|z|+i\operatorname{Arg}(z)} \ = \frac{\ln|z|-i\operatorname{Arg}(z)}{\ln^2|z|+(\operatorname{Arg}(z))^2}[/mm]
Also [mm]\operatorname{Re}(1/\log z)=\frac{\ln|z|}{\ln^2|z|+(\operatorname{Arg}(z))^2}[/mm]
Nun ist auf [mm]\Omega\cap N[/mm] ja [mm]|z|<1[/mm], also ist der Zähler negativ, der Nenner positiv, damit [mm]b<0[/mm] auf [mm]\Omega\cap N[/mm] ...
Die Subharmonizität und [mm]\lim\limits_{z\to 0}b(z)=0[/mm] checke ich gleich mal, letzteres sollte mit de l'Hôpital klappen, wenn ich das so auf die Schnelle sehe ...
Was meint ihr?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
So, ich schon wieder ...
Also die Umformung [mm] $\frac{\ln|z|}{\ln^2|z|+(\operatorname{Arg}(z))^2}=\frac{1}{\ln|z|+\frac{(\operatorname{Arg}(z))^2}{\ln|z|}}$ [/mm] sagt wegen der Beschränktheit von [mm] $(\operatorname{Arg}(z))^2$ [/mm] , dass [mm]\lim\limits_{z\to 0}b(z)=\frac{1}{-\infty+0}=0[/mm]
Leider klappt das mit der Subharmonizität nicht ganz ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:17 Sa 14.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Def.: Sei [mm]\Omega\subsetneq\IC_{\infty}, \ \ \zeta_0\in\partial\Omega[/mm]
>
> Eine Barriere in [mm]\zeta_0[/mm] ist eine subharmonische Funktion
> [mm]b[/mm], definiert auf [mm]\Omega\cap N[/mm], wobei [mm]N[/mm] eine offene Umgebung
> von [mm]\zeta_0[/mm] ist, so dass gilt:
>
> 1) [mm]b<0[/mm] in [mm]\Omega\cap N[/mm]
>
> 2) [mm]\lim\limits_{z\to\zeta_0}b(z)=0[/mm]
>
>
> [mm]\Omega[/mm] heißt regulär, falls eine Barriere in jedem
> Randpunkt von [mm]\Omega[/mm] existiert.
>
> Satz:
>
> Wenn [mm]\Omega[/mm] ein Gebiet ist, so dass
> [mm]\IC_{\infty}\setminus\Omega[/mm] mindestens 2 Punkte enthält,
> so ist [mm]\Omega[/mm] regulär.
>
>
>
> Hallo zusammen,
>
> im Zusammenhang mit der Lösbarkeit des Dirichlet-Problems
> bin ich auf obigen Satz gestoßen, zu dessen Beweis ich
> eine Frage habe.
>
> Ich skizziere die wichtigen Schritte ...
>
> zz. ist, dass jeder Randpunkt regulär ist (also eine
> Barriere existiert).
>
> Dazu schnappt man sich [mm]\zeta_0\in\partial\Omega[/mm] und
> [mm]\zeta_1\in\partial\Omega\setminus\{\zeta_0\}[/mm], o.E.
> [mm]\zeta_0=0, \ \ \zeta_1=\infty[/mm].
>
> Dann ist [mm]\Omega\subset\IC\setminus\{0\}[/mm] ein Gebiet, in dem
> ein holomorpher Zweig des Logarithmus existiert.
Hallo schachuzipus,
da ich wenig Zeit habe, alles folgende ohne Gewähr. Aber ich hoffe es hilft ein wenig.
Wir haben also: es ex. eine holomorphe Funktion f: [mm] \Omega \to \IC [/mm] mit:
(*) [mm] $e^{f(z)}=z$ [/mm] für jedes z [mm] \in \Omega
[/mm]
(dieses f ist ein hol. Zweig des Log. auf [mm] \Omega)
[/mm]
>
> Nimmt man nun [mm]N=B(0,1)[/mm] und definiert [mm]b[/mm] auf [mm]\Omega\cap N[/mm]
> durch:
>
> [mm]b(z)=\operatorname{Re}\left(1/\log z\right)[/mm], so ist klar,
> dass [mm]b[/mm] eine Barriere in [mm]0[/mm] ist.
>
> So, nun meine Frage(n).
>
> 1) Mir ist überhaupt nicht klar, wieso [mm]b[/mm] eine Barriere
> ist, was an 2) liegen mag ...
>
> 2) ich kann mir [mm]\operatorname{Re}\left(1/\log z\right)[/mm]
> nicht "vorstellen" bzw. mir den Realteil herausschreiben
> ...
>
> Kann man das irgendwie konkretisieren?
Ich verwende obige Bez. f, statt [mm] \log
[/mm]
Auf [mm]\Omega\cap N[/mm] ist f nullstellenfrei, denn wäre für ein [mm] z_0 \in[/mm] [mm]\Omega\cap N[/mm]
[mm] f(z_0)=0,
[/mm]
so hätten wir, wegen (*):
[mm] 1=e^0=z_0,
[/mm]
Widerspruch, denn 1 [mm] \notin[/mm] [mm]\Omega\cap N[/mm]
Damit ist 1/f holomorph auf [mm]\Omega\cap N[/mm]
Somit ist b:=Re(1/f) harmonisch auf [mm]\Omega\cap N[/mm] , also auch subharmonisch.
Wie gesagt, alles ohne Gewähr
Gruß FRED
>
> Danke vorab!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallol Fred,
danke erstmal, das sieht sehr gut und stimmig aus!
Deine Argumentation zur Harmonizität ist sicher richtig, ich schaue mir aber die zugeh. Theorems und Corollarys nochmal an, damit es "wasserdicht" ist 
Ich bastel mir mal alles zusammen.
Vielen vielen Dank!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
