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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 11.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
| Aufgabe | | Es sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] durch eine konvergente Fourier Reihe [mm] a_0 [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_ncos(n\varphi)+ b_nsin(n\varphi) [/mm] gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Dirichletproblems [mm] \Delta [/mm] u = 0 im Kreisring K:= { [mm] (x,y)^T \in \IR^2 [/mm] | [mm] 1 |
Hallo zusammen,
ich möchte die oben beschriebene Aufgabe gerne lösen. In der Aufgabenstellung wird zusätzlich zu dem oben beschriebenen noch eine "Anleitung" gegeben. Darin wird gesagt, dass man ,um spezielle Lösungen der Potentialgleichung im Kreisring zu gewinnen, ebene Polarkoordinaten verwendet und einen Produktansatz v(r, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] V(r)\phi(\varphi) [/mm] macht. Dieser führt dann auf die beiden Differentialgleichungen [mm] r^2*V''(r)+rV'(r)+MV(r)=0 [/mm] und [mm] \phi''(\varphi)-M\phi(\varphi)=0 [/mm] Es wird dann erklärt, wie man diese beiden Differentialgleichungen lösen kann, was aber bei dieser Aufgabe gar nicht mein Problem darstellt. Mit diesen beiden Lösungen erhält man dann eben folgende Lösungen der Potentialgleichung
[mm] v_0(r, \varphi)=A_0+B_0*ln(x) [/mm] und [mm] v_n(r, \varphi)=(A_nr^n+B_nr^{-n})(C_ncos(n\varphi)+D_nsin(n\varphi)). [/mm] Diese ganzen bisherigen Überlegungen sollen laut Aufgabenstellung allerdings gar nicht durchgeführt werden. Was gemacht werden soll ist laut Aufgabenstellung wortwörtlich:" Setzen Sie nun die Lösung des Dirichletproblems als unendliche Reihe dieser speziellen Lösungen an."
Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich dabei genau vorgehen kann. Ich vermute, dass man die Reihe so [mm] v(r,\varphi)=A_0+B_0*ln(r)+\summe_{n=1}^{\infty}(A_n*r^n+B_n*r^{-n})(C_ncos(n\varphi)+D_nsin(n\varphi))
[/mm]
ansetzen soll und dann aufgrund der gegebenen Randbedingungen die Koeffizienten entsprechend anpassen soll. Ich bin mir aber nicht sicher, ob dieser Ansatz richtig ist und wie ich genau die Koeffizienten bestimmen kann?
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
Viele Grüße,
Ellie123
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Hallo Ellie123,
> Es sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] durch eine konvergente Fourier Reihe
> [mm]a_0[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_ncos(n\varphi)+ b_nsin(n\varphi)[/mm]
> gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Dirichletproblems
> [mm]\Delta[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
u = 0 im Kreisring K:= { [mm](x,y)^T \in \IR^2[/mm] |
> [mm]1Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} mit den Randwerten [mm]u(cos\varphi, sin\varphi)=0[/mm]
> und [mm]u(Rcos\varphi, Rsin\varphi)=f(\varphi)[/mm] in Form einer
> unendlichen Reihe. Weisen Sie die (punktweise) Konvergenz
> der Reihe nach.
> Hallo zusammen,
>
> ich möchte die oben beschriebene Aufgabe gerne lösen. In
> der Aufgabenstellung wird zusätzlich zu dem oben
> beschriebenen noch eine "Anleitung" gegeben. Darin wird
> gesagt, dass man ,um spezielle Lösungen der
> Potentialgleichung im Kreisring zu gewinnen, ebene
> Polarkoordinaten verwendet und einen Produktansatz v(r,
> [mm]\varphi)[/mm] = [mm]V(r)\phi(\varphi)[/mm] macht. Dieser führt dann auf
> die beiden Differentialgleichungen
> [mm]r^2*V''(r)+rV'(r)+MV(r)=0[/mm] und
> [mm]\phi''(\varphi)-M\phi(\varphi)=0[/mm] Es wird dann erklärt,
> wie man diese beiden Differentialgleichungen lösen kann,
> was aber bei dieser Aufgabe gar nicht mein Problem
> darstellt. Mit diesen beiden Lösungen erhält man dann
> eben folgende Lösungen der Potentialgleichung
> [mm]v_0(r, \varphi)=A_0+B_0*ln(x)[/mm] und [mm]v_n(r, \varphi)=(A_nr^n+B_nr^{-n})(C_ncos(n\varphi)+D_nsin(n\varphi)).[/mm]
> Diese ganzen bisherigen Überlegungen sollen laut
> Aufgabenstellung allerdings gar nicht durchgeführt werden.
> Was gemacht werden soll ist laut Aufgabenstellung
> wortwörtlich:" Setzen Sie nun die Lösung des
> Dirichletproblems als unendliche Reihe dieser speziellen
> Lösungen an."
>
> Ich weiß jetzt leider nicht, wie ich dabei genau vorgehen
> kann. Ich vermute, dass man die Reihe so
> [mm]v(r,\varphi)=A_0+B_0*ln(r)+\summe_{n=1}^{\infty}(A_n*r^n+B_n*r^{-n})(C_ncos(n\varphi)+D_nsin(n\varphi))[/mm]
> ansetzen soll und dann aufgrund der gegebenen
> Randbedingungen die Koeffizienten entsprechend anpassen
> soll. Ich bin mir aber nicht sicher, ob dieser Ansatz
> richtig ist und wie ich genau die Koeffizienten bestimmen
> kann?
>
Der Ansatz ist richtig.
Um die Koeffizienten bestimmen zu können,
sind die Randbedingungen ebenfalls in Form
einer unendlichen Reihe zu schreiben.
z.B.
[mm]\cos\left(\varphi\right)=0+1*cos(\varphi)+0*cos(2\varphi)+0*cos(3\varphi)+\ ... \ +[/mm]
[mm]f\left(\varphi\right)[/mm] ist dann als Fourierreihe darzustellen.
Laut Aufgabenstellung ist [mm]f\left(\varphi\right)[/mm] schon so gegeben.
> Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen?
>
> Viele Grüße,
> Ellie123
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 12.01.2014 | | Autor: | Ellie123 |
Hallo,
vielen Dank schon einmal für die Antwort. Leider bin ich damit noch nicht weitergekommen, da ich nicht weiß, wie ich konkret vorgehen muss. Aber leider muss ich auch gestehen, dass ich mich mit Fourierreihen bisher nicht so wirklich auskenne. :-(
Meine Überlegung bisher: Die äußere Randbedingung ( also bei r=R) ist ja gegeben durch die konvergente Fourierreihe [mm] a_0+\summe_{n=1}^{\infty}a_n*cos(n\varphi)+b_nsin(n*\varphi) [/mm]
Deshalb würde ich jetzt [mm] A_0:=a_0 [/mm] und [mm] B_0:=0 [/mm] und [mm] A_n:= \bruch{1}{2R^n} [/mm] und [mm] B_n:= \bruch{R^n}{2} [/mm] und [mm] C_n:=a_n [/mm] und [mm] D_n:=b_n [/mm] setzen.
Dann würde ich doch am äußeren Rand die angegebene Fourierreihe erhalten, oder? Aber damit hätte ich ja nicht die innere Randbedingung für r=1 erfüllt. Denn da muss die gesuchte Funktion u doch gleich 0 werden. Wie kann ich das also richtig umsetzen. bzw. wie kann ich denn die innere Randbedingung erfüllen?
Vielen Dank schon mal für weitere Hilfe.
Viele Grüße, Ellie
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Hallo Ellie123,
> Hallo,
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> vielen Dank schon einmal für die Antwort. Leider bin ich
> damit noch nicht weitergekommen, da ich nicht weiß, wie
> ich konkret vorgehen muss. Aber leider muss ich auch
> gestehen, dass ich mich mit Fourierreihen bisher nicht so
> wirklich auskenne. :-(
>
> Meine Überlegung bisher: Die äußere Randbedingung ( also
> bei r=R) ist ja gegeben durch die konvergente Fourierreihe
> [mm]a_0+\summe_{n=1}^{\infty}a_n*cos(n\varphi)+b_nsin(n*\varphi)[/mm]
> Deshalb würde ich jetzt [mm]A_0:=a_0[/mm] und [mm]B_0:=0[/mm] und [mm]A_n:= \bruch{1}{2R^n}[/mm]
> und [mm]B_n:= \bruch{R^n}{2}[/mm] und [mm]C_n:=a_n[/mm] und [mm]D_n:=b_n[/mm]
> setzen.
> Dann würde ich doch am äußeren Rand die angegebene
> Fourierreihe erhalten, oder? Aber damit hätte ich ja nicht
> die innere Randbedingung für r=1 erfüllt. Denn da muss
> die gesuchte Funktion u doch gleich 0 werden. Wie kann ich
> das also richtig umsetzen. bzw. wie kann ich denn die
> innere Randbedingung erfüllen?
>
Es kann ja sein, daß die innere Randbedingung
[mm]u( \ \cos\left(\varphi\right), \ \sin\left(\varphi\right) \ )=0[/mm] so zu verstehen ist:
[mm]u(\cos\left(\varphi\right), \ \sin\left(\varphi\right) \ )=A_{0}+\summe_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}*1^{n}
+B_{n}*1^{-n}\right)*\left( \ C_{n}*\cos\left(n\varphi\right)+D_{n}*\sin\left(n\varphi\right) \ \right)=0[/mm]
Dementsprechend die äußere Randbedingung:
[mm]u(R\cos\left(\varphi\right), \ R\sin\left(\varphi\right) \ )=A_{0}+B_{0}*\ln\left(R\right)+\summe_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}*R^{n}
+B_{n}*R^{-n}\right)*\left( \ C_{n}*\cos\left(n\varphi\right)+D_{n}*\sin\left(n\varphi\right) \ \right)=f\left(\varphi\right)[/mm]
,wobei für [mm]f\left(\varphi\right)[/mm] die bekannte Fourierreihe anzusetzen ist.
> Vielen Dank schon mal für weitere Hilfe.
> Viele Grüße, Ellie
>
Gruss
MathePower
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Hallo nochmal,
ich komm leider immer noch nicht klar :-(
Kann mir nicht jemand nocheinmal einen klitzekleinen Hinweis geben, wie ich die Koeffizienten so bestimmen kann, dass beide Randbedingungen erfüllt sind?! Ich weiß einfach nicht, wie ich mit dem gegebenen Ansatz beide Bedingungen gleichzeitig erfüllen kann?
Hallo Ellie123,
>
> > Hallo,
> >
> > vielen Dank schon einmal für die Antwort. Leider bin ich
> > damit noch nicht weitergekommen, da ich nicht weiß, wie
> > ich konkret vorgehen muss. Aber leider muss ich auch
> > gestehen, dass ich mich mit Fourierreihen bisher nicht so
> > wirklich auskenne. :-(
> >
> > Meine Überlegung bisher: Die äußere Randbedingung ( also
> > bei r=R) ist ja gegeben durch die konvergente Fourierreihe
> >
> [mm]a_0+\summe_{n=1}^{\infty}a_n*cos(n\varphi)+b_nsin(n*\varphi)[/mm]
> > Deshalb würde ich jetzt [mm]A_0:=a_0[/mm] und [mm]B_0:=0[/mm] und [mm]A_n:= \bruch{1}{2R^n}[/mm]
> > und [mm]B_n:= \bruch{R^n}{2}[/mm] und [mm]C_n:=a_n[/mm] und [mm]D_n:=b_n[/mm]
> > setzen.
> > Dann würde ich doch am äußeren Rand die angegebene
> > Fourierreihe erhalten, oder? Aber damit hätte ich ja nicht
> > die innere Randbedingung für r=1 erfüllt. Denn da muss
> > die gesuchte Funktion u doch gleich 0 werden. Wie kann ich
> > das also richtig umsetzen. bzw. wie kann ich denn die
> > innere Randbedingung erfüllen?
> >
>
>
> Es kann ja sein, daß die innere Randbedingung
> [mm]u( \ \cos\left(\varphi\right), \ \sin\left(\varphi\right) \ )=0[/mm]
> so zu verstehen ist:
>
> [mm]u(\cos\left(\varphi\right), \ \sin\left(\varphi\right) \ )=A_{0}+\summe_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}*1^{n}
+B_{n}*1^{-n}\right)*\left( \ C_{n}*\cos\left(n\varphi\right)+D_{n}*\sin\left(n\varphi\right) \ \right)=0[/mm]
>
> Dementsprechend die äußere Randbedingung:
> [mm]u(R\cos\left(\varphi\right), \ R\sin\left(\varphi\right) \ )=A_{0}+B_{0}*\ln\left(R\right)+\summe_{n=1}^{\infty}{\left(A_{n}*R^{n}
+B_{n}*R^{-n}\right)*\left( \ C_{n}*\cos\left(n\varphi\right)+D_{n}*\sin\left(n\varphi\right) \ \right)=f\left(\varphi\right)[/mm]
>
> ,wobei für [mm]f\left(\varphi\right)[/mm] die bekannte Fourierreihe
> anzusetzen ist.
>
>
> > Vielen Dank schon mal für weitere Hilfe.
> > Viele Grüße, Ellie
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mi 15.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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