Disj. Vereinigung - Definition < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:57 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
| Aufgabe | Definitionen:
1. Es sei $X$ eine Menge und $I$ eine Indexmenge, das heißt eine Menge, deren Elemente wir als Indizes verwenden wollen. Ist dann für jedes [mm] i\in{}I [/mm] eine Teilmenge [mm] X_i\subset{}X [/mm] gegeben, so nennt man [mm] \bigcup_{i\in{}I}X_i:=\{x\in{}X;\mbox{es existiert ein} i\in{}I \mbox{mit} x\in{}X_i\} [/mm] die Vereinigung der Mengen [mm] $X_i, i\in{}I$.
[/mm]
2. Als Variante zur Vereinigung von Mengen [mm] X_i, i\in{}I [/mm] kann man deren disjunkte Vereinigung (gleiche Schreibweise nur umgekehrtes Produktzeichen statt Vereinigungszeichen) bilden. Hierunter versteht man die Gesamtheit aller Elemente, die in irgendeiner der Mengen [mm] X_i [/mm] enthalten sind, wobei man allerdings für verschiedene Indzies [mm] i,j\in{}I [/mm] die Elemente von [mm] X_i [/mm] als verschieden von allen Elementen aus [mm] X_j [/mm] ansieht. |
Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob ich die zweite Definition richtig verstehe.
Seien [mm] I:=\{1,2\} [/mm] und seien [mm] X_1:\{1,2\} [/mm] und [mm] X_2:=\{1,3\} [/mm] Teilmengen von X. Ist dann die Vereinigung von [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2 [/mm] gleich [mm] \{1,2,3\} [/mm] und die disjunkte Vereinigung gleich [mm] \{1_1,2_1,1_2,3_2\}?
[/mm]
Viele Grüße
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Hiho,
> Seien [mm]I:=\{1,2\}[/mm] und seien [mm]X_1:\{1,2\}[/mm] und [mm]X_2:=\{1,3\}[/mm] Teilmengen von X. Ist dann die Vereinigung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm] gleich [mm]\{1,2,3\}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und die disjunkte Vereinigung gleich [mm]\{1_1,2_1,1_2,3_2\}?[/mm]
Nein. Wo sollen denn die neuen Elemente plötzlich herkommen?
Disjunkt heißt die Vereinigung nur, wenn es in der Menge aller Ausgangsmengen (bei dir also [mm] X_1 [/mm] und [mm] X_2) [/mm] keine zwei Mengen gibt, die mindestens ein Element gemeinsam haben.
Da bei dir bei beiden Mengen jeweils die 1 drin vorkommt, sind deine Mengen nicht disjunkt.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:23 Di 09.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Achso, ok, danke.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:54 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hiho,
>
> > Seien [mm]I:=\{1,2\}[/mm] und seien [mm]X_1:\{1,2\}[/mm] und [mm]X_2:=\{1,3\}[/mm]
> Teilmengen von X. Ist dann die Vereinigung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> gleich [mm]\{1,2,3\}[/mm]
>
>
>
> > und die disjunkte Vereinigung gleich [mm]\{1_1,2_1,1_2,3_2\}?[/mm]
>
> Nein. Wo sollen denn die neuen Elemente plötzlich
> herkommen?
[mm] $1_1$ [/mm] steht für die $1 [mm] \in X_1$ [/mm] und [mm] $1_2 \not=1_1$ [/mm] für die $1 [mm] \in X_2$
[/mm]
etc. pp.
Die kommen nicht plötzlich irgendwo her, die werden jetzt nur
"komischerweise" indiziert...
(Siehe auch Wolfgangs Antwort!)
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo,
Gonozal_IX hat das beschrieben, was heutzutage unter "disjunkter Vereinigung" verstanden wird, nämlich einer ganz normalen Vereinigung, bei der die vereinigten Mengen zueinander disjunkt sind, d. h. für [mm] $i\ne [/mm] j$ ist [mm] $X_i\cap X_j [/mm] = [mm] \emptyset$. [/mm] Aber die Definition aus dem Buch entspricht eher dem, was man heute "multiset" nennt. Dafür ist aber das Symbol [mm] $\coprod$ [/mm] sehr ungewöhnlich.
> Definitionen:
> 1. Es sei [mm]X[/mm] eine Menge und [mm]I[/mm] eine Indexmenge, das heißt
> eine Menge, deren Elemente wir als Indizes verwenden
> wollen. Ist dann für jedes [mm]i\in{}I[/mm] eine Teilmenge
> [mm]X_i\subset{}X[/mm] gegeben, so nennt man
> [mm]\bigcup_{i\in{}I}X_i:=\{x\in{}X;\mbox{es existiert ein} i\in{}I \mbox{mit} x\in{}X_i\}[/mm]
> die Vereinigung der Mengen [mm]X_i, i\in{}I[/mm].
> 2. Als Variante
> zur Vereinigung von Mengen [mm]X_i, i\in{}I[/mm] kann man deren
> disjunkte Vereinigung (gleiche Schreibweise nur umgekehrtes
> Produktzeichen statt Vereinigungszeichen) bilden. Hierunter
> versteht man die Gesamtheit aller Elemente, die in
> irgendeiner der Mengen [mm]X_i[/mm] enthalten sind, wobei man
> allerdings für verschiedene Indzies [mm]i,j\in{}I[/mm] die Elemente
> von [mm]X_i[/mm] als verschieden von allen Elementen aus [mm]X_j[/mm]
> ansieht.
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht sicher, ob ich die zweite Definition
> richtig verstehe.
>
> Seien [mm]I:=\{1,2\}[/mm] und seien [mm]X_1:\{1,2\}[/mm] und [mm]X_2:=\{1,3\}[/mm]
> Teilmengen von X. Ist dann die Vereinigung von [mm]X_1[/mm] und [mm]X_2[/mm]
> gleich [mm]\{1,2,3\}[/mm] und die disjunkte Vereinigung gleich
> [mm]\{1_1,2_1,1_2,3_2\}?[/mm]
Genau! Die disjunkte Vereinigung hat tatsächlich vier Elemente, die normale Vereinigung nur drei.
Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:53 Mi 10.10.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Gonozal_IX hat das beschrieben, was heutzutage unter
> "disjunkter Vereinigung" verstanden wird, nämlich einer
> ganz normalen Vereinigung, bei der die vereinigten Mengen
> zueinander disjunkt sind, d. h. für [mm]i\ne j[/mm] ist [mm]X_i\cap X_j = \emptyset[/mm].
> Aber die Definition aus dem Buch entspricht eher dem, was
> man heute "multiset" nennt. Dafür ist aber das Symbol
> [mm]\coprod[/mm] sehr ungewöhnlich.
es geht: [mm] $\coprod$ [/mm] wird verwendet fuer das kategorientheoretische ![[]](/images/popup.gif) Koprodukt. Und das Koprodukt in der Kategorie der Mengen ist eben die disjunkte Vereinigung.
Man kann das Koprodukt [mm] $\coprod_{i \in I} X_i$ [/mm] uebrigens korrekt konstruieren als Teilmenge von $I [mm] \times \bigcup_{i\in I} X_i$, [/mm] wobei man genau die Elemente $(i, x)$ in die Teilmenge aufnimmt mit $x [mm] \in X_i$. [/mm] Wenn man das Paar $(i, x)$ jetzt als [mm] $x_i$ [/mm] notiert, dann ist [mm] $\coprod_{i \in I} X_i [/mm] = [mm] \{ 1_1, 1_2, 2_1, 3_2 \}$ [/mm] fuer $I = [mm] \{ 1, 2 \}$, $X_1 [/mm] = [mm] \{ 1, 2 \}$, $X_2 [/mm] = [mm] \{ 1, 3 \}$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:57 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Übrigens: Die Definition stammt aus Boschs Linearer Algebra, 4. Auflage von 2007. So alt ist das Buch also nicht.
Viele Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Mi 10.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Axiom,
> Übrigens: Die Definition stammt aus Boschs Linearer
> Algebra, 4. Auflage von 2007. So alt ist das Buch also
> nicht.
ja stimmt, ich hab' gerade mal meine pdf-Datei davon durchstöbert:
Auf Seite 10 steht diese Definition. Ich habe aber gerade mal das Buch
nach dem Stichwort "disjunkt" durchforstet und frage mich, ehrlich gesagt,
warum er es nicht in Gonos Variante definiert hat. (Ich denke nämlich, dass
er das gar nicht braucht, dass man die Elemente auch ihre Menge
zugehörig "klassifiziert" und dann gleiche doch voneinander
unterscheidet! Vielleicht habe ich aber auch nur eine Stelle übersehen, wo
er das doch braucht?!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Do 11.10.2012 | | Autor: | Axiom96 |
Hallo,
übrigens selbst Wikipedia gibt beide verschiedenen Definitionen zur Disjunkten Vereinigung an. Ich habe jetzt nur noch nicht ganz verstanden, welche jetzt im Bosch gilt.
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Do 11.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Axiom,
>
> übrigens selbst Wikipedia gibt beide verschiedenen
> Definitionen zur
> Disjunkten Vereinigung
> an. Ich habe jetzt nur noch nicht ganz verstanden, welche
> jetzt im Bosch gilt.
Die komische. Aber das spielt ja erst eine Rolle, wenn Bosch diese Definition irgendwo benutzt. Bis dahin ist jede Grübelei überflüssig.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:32 Do 11.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gono,
> Hiho,
>
> > frage mich, ehrlich gesagt, warum er es nicht in Gonos
> Variante definiert hat.
>
> hat er doch 
nein, hat er eben nicht. Bei ihm wäre die disjunkte Vereinigung der von
Axiom genannten Mengen gemäß der von Felix vorgeschlagenen Notation
[mm] $$\coprod_{i \in \{1,2\}}X_i=\{(1,1),\;(1,2),\;(2,1),\;(2,3)\},$$
[/mm]
was Axiom als
[mm] $$=\{1_1,2_1,1_2,3_2\}$$
[/mm]
geschrieben hatte - wobei [mm] $I=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $X_1=\{1,2\}$ [/mm] und [mm] $X_2=\{1,3\}\,.$
[/mm]
> Ich hab mich ja bisher rausgehalten, aber er verwendet
> einfach die Standarddefinition von disjunkter Vereinigung.
> Er drückt es in Textform zwar etwas verklausuliert aus,
> aber letztlich ist es das.
Nein, was er in Textform ausdrückt, ist obiges. Ich glaube aber, dass er
zudem interpretiert, dass diese Definition mit der Deinigen "identifiziert"
werden soll, wenn die Mengen eh paarweise disjunkt sind.
(Übrigens gab's hier auch mal eine Unterscheidung zwischen "Mengen (aus
einem Mengensystem) sind disjunkt... " und "Mengen (aus einem
Mengensystem) sind paarweise disjunkt...". Man sollte also manchmal
tunlichst genau prüfen, ob man wirklich in Sprachform das ausdrückt, was
man meint!)
> Warum hier die Diskussion aufkam, konnte ich von
> vornherein nicht verstehen. 
> Aber warum einfach, wenns auch kompliziert geht.....
Sagen wir's mal so: Bosch hätte einfach anstatt
> Hierunter versteht man die Gesamtheit aller Elemente, die in irgendeiner
> der Mengen $ [mm] X_i [/mm] $ enthalten sind, wobei man allerdings für
> verschiedene Indzies $ [mm] i,j\in{}I [/mm] $ die Elemente von $ [mm] X_i [/mm] $ als
> verschieden von allen Elementen aus $ [mm] X_j [/mm] $ ansieht.
schreiben sollen:
Wenn für $i,j [mm] \in [/mm] I$ mit [mm] $i\not=j$ [/mm] auch stets [mm] $X_i \cap X_j=\emptyset,$ [/mm] d.h.
dass [mm] $X_i$ [/mm] und [mm] $X_j$ [/mm] kein gemeinsames Element haben, (oder anders
gesagt: Alle [mm] $X_i,X_j$ [/mm] sind paarweise disjunkt) gilt, dann...
Nach wie vor: So, wie Bosch es formuliert, benutzt er die obige "komische"
Definition. Ich gehe aber davon aus, dass er z.B., wenn [mm] $X_1=\{1,2\}$
[/mm]
und [mm] $X_2=\{3,4\}$ [/mm] wären, er dann sagt oder es als klar ansieht, dass
man
[mm] $$\coprod_{k=1}^2 X_k=\{(1,1),\;(1,2),\;(2,3),\;(2,4)\}=\{1_1,2_1,3_2,4_2\}$$
[/mm]
mit
[mm] $$=\{1,2,3,4\}$$
[/mm]
identifiziert - denn hier kommt jedes der am Ende stehenden Elemente in genau einer der genannten Mengen vor - der "Index" ist also überflüssig.
P.S.
Das letztgenannte steckt bei Wikipedia in dem Satz:
- Sind die Mengen [mm] $X_i$ [/mm] disjunkt, so ist die kanonische Abbildung
[mm] $\bigsqcup\limits_{i\in I}X_i\to\bigcup\limits_{i\in I}X_i$ [/mm] bijektiv.
P.P.S.
Ich kannte die "komische" Definition bisher auch nicht, und wenn ich hier
im Forum von disjunkter Vereinigung sprach, meinte ich die Deinige.
Gruß,
Marcel
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