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| Aufgabe | Zeigen sie, dass in einem diskreten metrischen Raum jede Menge offen ist.
Zusatzinfo: Sei (M,d) ein metrischer Raum. Dann heißt A Teilmenge M offen, wenn es für alle a in A ein 0< c Element den reelen Zahlen gibt mit
Bc (a) ist Teilmenge A.
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Ich weiß leider gar nicht wie ich da ran gehen sollte.
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:34 So 27.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen sie, dass in einem diskreten metrischen Raum jede
> Menge offen ist.
Also was die diskrete Metrik ist, sollte dir ja klar sein.
Sei $M$ eine beliebige Teilmenge deines diskreten metrischen Raumes $X$ und [mm] $m\in [/mm] M$ ein beliebiger Punkt in $M$. Wie sieht dann die Menge [mm] $\{x\in X:d(x,m)<1/2\}$ [/mm] aus?
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| Aufgabe | | Zeigen sie dass in einem diskreten metrischen Raum alle Mengen offen sind. |
In einem diskreten metrischen Raum beträgt der Abstand zw. x und y jeweils 1 falls x und y nicht gleich sind, sonst ist er 0. (natürlich muss es nicht unbedingt 1 sein, es kann auch jede andere Zahl sein).
Was ist nicht verstehe ist d(x,m) < 1/2
Das heißt der Abstand zwischen x und m soll kleiner als 0,5 sein?
Woher kommt den das 1/2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 So 27.04.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
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> Was ist nicht verstehe ist d(x,m) < 1/2
> Das heißt der Abstand zwischen x und m soll kleiner als
> 0,5 sein?
> Woher kommt den das 1/2?
>
Dass es gerade 1/2 ist ist ganz egal, es könnte auch jede andere Zahl zwischen 0 und 1 (wobei 0 ausgeschlossen ist) sein, also z.B. 0,001 oder [mm] \pi/4 [/mm] oder irgend etwas anderes.
Bei der Untersuchung von "Offenheit" einer Menge M in metrischen Räumen muss man sich ja um jeden Punkt in M eine [mm] \varepsilon-Kugel B_\varepsilon [/mm] vorstellen, d.h. alle Punkte, die von diesem Punkt einen Abstand < [mm] \varepsilon [/mm] haben - und genau eine solche Menge für ein bestimmtes [mm] \epsilon [/mm] solltest Du Dir nach pelzigs Vorschlag anschauen.
Um vielleicht noch etwas klarer zu machen solltest Du Dir zusätzlich zum Fall 0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1 (also z.B. [mm] \varepsilon [/mm] = 1/2) auch noch überlegen, wie die [mm] \varepsilon-Kugeln [/mm] für [mm] \varepsilon [/mm] > 1 aussehen.
Gruß
piet
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