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| Aufgabe | | Dir wird das folgende Spiel angeboten: Du wirfst eine Münze. Bei Kopf erhältst du 1€, bei Zahl wirfst du erneut. Erscheint beim zweiten Wurf Kopf, so gibt es 2€. Bei Zahl wirfst du wieder. Kopf bringt dir dann 4€ usw. Du wirfst solange, bis das erste Mal Kopf erscheint und bei jedem neuen Wurf verdoppelt sich der potentielle Gewinn. Wie viel wärst du bereit als Einsatz zu zahlen? |
Ich bin immer von den Würfen mit Kopf ausgegangen und auf folgende Formel gekommen:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (1 + 2 + 4 + ...) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (2 * [mm] 2^{n-1}) [/mm] = [mm] 2^{n-1}. [/mm]
Der Erwartungswert ergibt sich durch [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{2}} [/mm] = 2, was bei mir nun n ist. Demnach ist der zu erwartende Gewinn [mm] 2^{n-1} [/mm] = [mm] 2^{1} [/mm] = 2.
ist der Gedankengang korrekt oder denke ich hier völlig falsch?
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 Fr 15.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Athanasius!
> Dir wird das folgende Spiel angeboten:
> Du wirfst eine Münze.
(Ich nehme an, dass die Münze ideal ist.)
> Bei Kopf erhältst du 1€, bei Zahl wirfst du
> erneut. Erscheint beim zweiten Wurf Kopf, so gibt es 2€.
> Bei Zahl wirfst du wieder. Kopf bringt dir dann 4€ usw.
> Du wirfst solange, bis das erste Mal Kopf erscheint und bei
> jedem neuen Wurf verdoppelt sich der potentielle Gewinn.
Okay.
> Wie viel wärst du bereit als Einsatz zu zahlen?
(Eigentlich stellt man sich bspw. die Frage bei welchem Einsatz
das Spiel (für alle Beteiligten) fair ist. Ich nehme an, dass
das hier auch so gemeint ist.)
> Ich bin immer von den Würfen mit Kopf ausgegangen und auf
> folgende Formel gekommen:
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (1 + 2 + 4 + ...) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * (2 [mm] *2^{n-1})[/mm] [/mm] = [mm]2^{n-1}.[/mm]
Das Gleichheitszeichen ist, selbst, wenn die Summe endlich wäre,
nicht richtig. Der Erwartungswert eines Gewinnes ist
[mm] 1*\frac{1}{2}+2*\frac{1}{4}+\ldots=\infty.
[/mm]
Nun muss man das richtig interpretieren.
> Der Erwartungswert ergibt sich durch [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{2}}[/mm] = 2, was bei mir nun n ist. Demnach
> ist der zu erwartende Gewinn [mm]2^{n-1}[/mm] = [mm]2^{1}[/mm] = 2.
>
> ist der Gedankengang korrekt oder denke ich hier völlig
> falsch?
Wir werfen eine ideale Münze.
1. "Kopf" erhalten wir mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] $p\$.
[/mm]
2. "Zahl" erhalten wir mit einer Wahrscheinlichkeit von [mm] $1-p\$.
[/mm]
Wenn wir uns nun für die Wahrscheinlichkeit interessieren, dass
wir erst im [mm] $\IN\ni n\$-ten [/mm] Wurf Kopf erhalten, dann müssen alle Würfe
davor, also die [mm] $n-1\$ [/mm] Würfe, Zahl sein. Also: [mm] (1-p)^{n-1}*p^1. [/mm] Hier: [mm] $1/2^n$.
[/mm]
(Analog erhalten wir [mm] (1-p)^n*p [/mm] für alle [mm] n\in\IN_0.)
[/mm]
Die Auszahlung ist für alle [mm] n\in\IN [/mm] gegeben durch [mm] 2^{\red{n-1}}. [/mm] Den Erwartungs-
wert hast du mit [mm] $1/p=2\$ [/mm] richtig angegeben. Was heißt das nun genau?
(Stichwort: St. Petersburg paradox.)
Gruß
DieAcht
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Erst einmal danke für deine schnelle Antwort.
Die divergierende Reihe erscheint mir logisch, kann ich dennoch mit dem Erwartungswert 2 arbeiten? und ist die Auszahlung nicht gegeben durch [mm] 2^{n-1}? [/mm]
Im Endeffekt komme ich auf den logischen Schluss, dass man mit einer Wkt. von [mm] \bruch{1}{4} [/mm] einen Gewinn von [mm] 2^{1} [/mm] = 2 erwarten kann? Aber eigentlich ja auch nicht, da es ja einen unendlichen Erwartungswert gibt?
Vielen Dank und beste Grüße
Athanasius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Sa 16.05.2015 | | Autor: | DieAcht |
> Die divergierende Reihe erscheint mir logisch,
Es ist hier wichtig zu erkennen, dass die Reihe bestimmt divergiert.
> kann ich dennoch mit dem Erwartungswert 2 arbeiten?
Ja, der Ersteller dieser Frage wollte wohl auf diesen Wert hinaus.
> und ist die Auszahlung nicht gegeben durch [mm]2^{n-1}?[/mm]
Mit einer W'keit von [mm] 1/2^n [/mm] erhalten wir einen Gewinn von [mm] 2^{n-1}\quad(n\in\IN).
[/mm]
(Sorry für den Tippfehler.)
> Im Endeffekt komme ich auf den logischen Schluss, dass man
> mit einer Wkt. von [mm]\bruch{1}{4}[/mm] einen Gewinn von [mm]2^{1}[/mm] = 2 erwarten kann?
Ja, aber am Ende (bspw.) "erhält" statt "erwarten kann".
(Siehe auch Formel oben für [mm] $n=2\$.)
[/mm]
> Aber eigentlich ja auch nicht, da es ja einen unendlichen Erwartungswert gibt?
Pro Partie erwarten wir einen Gewinn von zwei Euro. Offensichtlich
erwarten wir dann im Mittel einen unendlichen Gewinn. Letzteres ist
(auch) über die Reihe ersichtlich.
Unabhängig zur Aufgabenstellung stellt man sich die Frage nach einem
fairen Spieleinsatz pro Partie. Beispiel: Würdest du eine Partie spie-
len, wenn du dafür einen hohen Einsatz zahlen müsstest? (Beachte dazu
beide Aussagen oben.)
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