Diskretes dynamisches System < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 So 25.05.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Unter einem diskreten dynamische System versteht man eine Rekursionsvorschrift der Form [mm] x_{n+1}:=f(x_{n}), x_{0}:=x, [/mm] wobei f: [mm] X\to [/mm] X eine beliebige Abbildung sei. Ein Punkt [mm] x^{\*} \in [/mm] X heißt Ruhelage des Systems, wenn [mm] x_{n}=x^{\*} [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie:
Ist X:=[0,1] und f stetig auf [0,1], monoton steigend auf [mm] [0,\bruch{1}{2}] [/mm] mit f(0)=f(1)=0 und [mm] f(\bruch{1}{2})=1, [/mm] dann besitzt das zugehörige dynamische System einen Punkt der Periode 2, d.h. ein [mm] x^{\*} \in [/mm] X mit [mm] f(x^{\*})\not= x^{\*}, [/mm] aber [mm] (f\circ f)(x^{\*})=x^{\*}. [/mm] |
Hi.
Ich bin mir bei dieser Aufgabe nicht ganz sicher, wie ich das zeigen soll. Dass die Lösung mittels des Fixpunktsatzes und des Zwischenwertsatzes gelöst werden sollte, habe ich schon herausgefunden, allerdings bin ich mir nicht sicher, wie ich das anstellen soll. Ich habe schon gezeigt, dass mind. eine Ruhelage [mm] x^{\*} [/mm] existiert, in Teilaufgabe a. Dieser Aufgabenteil ist Teilaufgabe b.
Könnt ihr mir da eventuell weiterhelfen, wie man diese Aufgabe angehen soll!
Ich bin für jeden Ansatz, bzw. Tipp/Hinweis sehr dankbar.
Viele Grüße, Petrit!
|
|
| |
|
Hiho,
Zeige: Es gibt ein $x > [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] mit $f(x) < [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 25.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die Antwort!
Ich hätte da mal folgenden Ansatz und wollte fragen, ob man das so machen kann:
Es gilt [mm] x\in [/mm] [0,1], sowie [mm] y:=f(x^{\*}) \in [/mm] [0,1]. Es gilt also, [mm] y,x^{\*} \in [/mm] [0,1] mit [mm] f(x^{\*})=y [/mm] und [mm] f(y)=x^{\*}. [/mm] Sei o.B.d.A. [mm] x\le [/mm] y. Nun definiert man eine stetige Funktion g(t)= f(t) - t auf dem Intervall [mm] [x^{\*},y].
[/mm]
Jetzt ist mir nicht ganz klar, was ich machen muss. Wenn ich nun alles einsetze bekomme ich ja Folgendes:
[mm] g(x^{\*})=f(x^{\*}) [/mm] - [mm] x^{\*}, [/mm] sowie
$ g(y)=f(y) $ - [mm] y=f(f(x^{\*})) [/mm] - [mm] f(x^{\*}).
[/mm]
Nach dem Zwischenwertsatz weiß ich nun, dass es eine Nullstelle im Intervall [mm] [x^{\*},y] [/mm] geben muss.
Woraus meiner Meinung nach Folgendes folgen müsste:
[mm] f(x^{\*}) [/mm] = [mm] x^{\*}, [/mm] sowie [mm] f(f(x^{\*})) [/mm] = [mm] f(x^{\*}).
[/mm]
Aber dies ist ja nicht das, was ich zeigen soll.
Was mache ich falsch?
Was ist mein [mm] x^{\*}?
[/mm]
Und wie verfahre ich nun weiter?
Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
|
|
|
| |
|
Hiho,
Es gilt also, [mm]y,x^{\*} \in[/mm] [0,1] mit [mm]f(x^{\*})=y[/mm] und [mm]f(y)=x^{\*}.[/mm]
warum sollte letzteres gelten? Das sollst du doch gerade zeigen!
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Erstmal danke für die Hilfe.
Ich komme aber nicht weiter.
Wie kann ich das denn nun zeigen?
Ich stehe momentan völlig auf dem Schlauch!
Ich hoffe, ihr könnt mir nochmals helfen, bin echt am verzweifeln bei dieser Auifgabe!
Ich bedanke mich schonmal für die Mühen!
Viele Grüße, Petrit!
|
|
|
| |
|
Hiho,
ich hab dir doch bereits einen Ansatz gegeben:
Zeige: f hat einen Fixpunkt in [mm] $\left[0,\bruch{1}{2}\right]$ [/mm] und [mm] f\left(\left[\bruch{1}{2},1\right]\right) [/mm] = [mm] \left[0,\bruch{1}{2}\right]$
[/mm]
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Mo 26.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Vielen Dank!
Habs hinbekommen!
Gruß, Petrit!
|
|
|
|
